„Igazán csodálatos bizonyítást találtam erre a tételre, de ez a margó túl keskeny, semhogy ideírhatnám.” A 17. században élt Pierre de Fermat-nak e szavai felcsigázták az emberek képzeletét, s különös matematikai küzdelemre készítettek az eljövendő nemzedékeket. Jóllehet a problémát igazán egyszerű megfogalmazni (nevezetesen: az xn+yn=zn egyenletnek, amennyiben x, y, z és n pozitív egész számok, n>2 esetén nem létezik megoldása), a matematikusok 350 éven át sikertelenül próbáltak megbirkózni vele. A nagy Fermat-sejtés a matematika szent Grálja lett. Voltak, akik egész életüket a bizonyításnak szentelték. Akadt, aki kétségbeesésében önkezével vetett véget életének, másvalakit pedig épp a nagy Fermat-sejtés mentett meg az öngyilkosságtól, ezért végrendeletében óriási díjat ajánlott fel a megoldásért. És akkor jött egy princetoni professzor, Andrew Wiles, aki már tízéves kora óta álmodozott a bizonyításról. 1993-ban, hét évi magányos és titokban végzett kutatómunka után szenzációs bejelentéssel kápráztatta el a világot: megvan a bizonyítás!

Minden idők leghíresebb matematikai problémájának megoldása egy hősies küzdelem története: a nagy ábrándok, szellemi nagyság és különleges eltökéltség emberi drámája. A könyv – mely eddig 22 országban jelent meg, és heteken át vezette az angol bestseller listákat – izgalmas megvilágításban mutatja be a matematikatörténet kiemelkedő pillanatait, a matematikai kutatás szépségét.

SIMON SINGH

A világot 350 éven keresztül lázban tartó
matematikai probléma szenzációs
megoldásának lebilincselő története

A fordítás alapjául szolgáló kiadás:
Simon Singh: Fermat’s Enigma.
Walker and Company, New York, 1997

Fordította Pappné Kovács Katalin

Copyright © 1997 by Simon Singh

Foreword copyright © 1997 by John Lynch

Hungarian translation © 1999 Park Könyvkiadó, Budapest

Magyar kiadás © 1999, 2002, 2004, 2015
Park Könyvkiadó, Budapest

A Park Könyvkiadó az LS Kiadói Csoport tagja

Borítóterv © Gerhes Gábor

Ötödik, javított kiadás

Szerkesztette Seres Iván és Majoros Klára

A szöveget gondozta Györke Mária és Halmos Mária

Műszaki szerkesztő Rochlitz Vera

Tördelte Farkas Milán

Elektronikus verzió eKönyv Magyarország Kft.

Készítette Békyné Kiss Adrien

www.ekonyv.hu

ISBN 978-963-355-114-1

Előszó

Bevezetés

1 – „Azt hiszem, itt abba is hagyom”

2 – A rejtvénykészítő

3 – A matematika szégyenfoltja

4 – Az absztrakció útján

5 – Bizonyítás ellentmondáson keresztül

6 – Titkos számítások

7 – Egy kis probléma

Epilógus – A nagy egységes matematika

A függelék

B függelék

Ajánlott irodalom

A képek és illusztrációk forrása

Pankar Singh emlékére

Előszó

Végre észrevettem Andrew Wilest a teremben. Nem voltak ott túl sokan, de azért elegen: az egész princetoni matematika tanszék. Egy másodpercig haboztam, hogy vajon melyikük lehet Andrew Wiles, de azután szinte nyomban be is mutatkoztam a tartózkodónak tűnő férfinak; éppen a körülötte folyó beszélgetésre figyelt, és teát kortyolgatott.

Nem akármilyen két hét volt mögöttem. Jó néhány matematikussal találkoztam a mai legnagyobbak közül, s kezdtem jobban megismerni a világukat. Ez volt az első találkozásom Andrew Wilesszal, jóllehet sokszor akartam már beszélni vele, hogy rábírjam: szerepeljen a BBC-nek az ő eredményeit bemutató Horizon dokumentumfilmjében. Ez hát az az ember, aki nemrégen bejelentette, hogy megtalálta a matematika Szent Grálját: azt állította, hogy bebizonyította a nagy Fermat-sejtést. Ahogy beszélgettünk, éreztem, hogyan burkolódzik be a magány és visszavonultság felhőjébe. Bár udvariasan és barátságosan viselkedett, mégis nyilvánvaló volt, hogy mérföldekre szeretne tudni magától. Nagyon egyszerűen elmagyarázta, hogy csak a munkájára tud összpontosítani, s hogy az éppen kritikus fázisban van; de talán később, ha a mostani nyomás alól felszabadul, készséggel rendelkezésemre áll. Tudtam – és neki sem volt kétsége felőle, hogy tudom –, hogy készen kell rá lennie: élete nagy műve esetleg összeomlik; megtörténhet, hogy a Szent Grálról, amelyet már szinte a kezében érzett, kiderül: meglehetősen szép és értékes ugyan, de nem több közönséges ivóedénynél. Akadt ugyanis egy hiba a beharangozott bizonyításban.

A nagy Fermat-sejtés története a maga nemében roppant különös. Már a Wilesszal való első találkozás előtt ráéreztem arra, hogy ez tényleg a tudományos kísérletezések világának egyik legnagyobb története. Láttam 1993 nyarán az újságok főcímeit; a Fermat-bizonyítás révén világszerte a lapok első oldalára került a matematika. Akkor csak meglehetősen homályos elképzeléseim voltak arról, vajon mi is a nagy Fermat-sejtés, de éreztem, hogy valami nagyon különleges dolog lehet, és hogy Horizon-film után kiált. A következő heteket azzal töltöttem, hogy sok matematikussal beszélgettem. Sokan szoros kapcsolatban voltak a történtekkel vagy Andrew-val, mások egyszerűen örültek annak, hogy szemtanúi lehettek szakterületük nagy pillanatának. Mindannyian nagylelkűen megosztották velem a matematikatörténettel kapcsolatos észrevételeiket, és türelmesen meghallgattak, még ha meglehetősen kevés elképzelésem volt is az idevágó fogalmakról. Rövidesen nyilvánvalóvá vált előttem, hogy ez olyan téma, amelyet az egész világon talán csak egy fél tucat ember képes teljes egészében megérteni. Voltak pillanatok, amikor kételkedni kezdtem magamban: nem háborodtam-e meg, hogy filmet akarok készíteni erről. De e matematikusoktól olyasmiket hallottam, amikből megismertem az egész érdekfeszítő történetet. Megértettem, mi köze is van Fermat-nak a matematikához és a matematika művelőihez, és arra is rájöttem, hogy mi a történet igazi lényege.

Megismerkedtem a probléma ókori görög forrásával, és megtudtam, hogy a nagy Fermat-sejtés a matematika egyik legmagasabb, mondhatni, Himalájába illő csúcsa. Megmutatkozott előttem a matematika szépsége, és kezdtem megérteni, miért mondják a matematikáról, hogy a természet nyelve. Wiles pályatársainak elbeszéléséből fogalmat alkothattam róla, hogy munkája milyen herkulesi erőfeszítést kívánt, hiszen bizonyításának megalkotásához egybe kellett fognia szinte valamennyi modern számelméleti módszert. Princetoni barátait hallgatva megismerhettem Andrew magányos kutatóéveinek bonyolult világát. Kialakult a magam sajátos elképzelése arról, hogy milyen ember is Andrew Wiles, és milyen az életén uralkodó rejtvény.

Bár Wiles bizonyításához nagyon kemény matematikára van szükség, mégis azt gondolom, a nagy Fermat-sejtésben a probléma egyszerű megfogalmazhatósága a legfőbb vonzerő. Magát a kérdésfeltevést minden iskolás gyerek megérti. Pierre de Fermat a reneszánsz hagyományait követte, s központi alakja volt a régi görög ismeretek újrafelfedezésének, ám olyan kérdéseket is felvetett, amilyenek a görögöknek eszükbe sem jutottak; így fogalmazódott meg az a feladat, amely a világ legkeményebb problémájának bizonyult. S Fermat az utókor bosszantására hátrahagyott egy arra utaló megjegyzést, hogy ő maga megoldotta ugyan a problémát, az általas olvasott könyv margóján nincs elég hely arra, hogy leírja a bizonyítást. Három évszázadon át volt ez mézesmadzag a matematikusoknak.

Az idő múlása egyre fontosabbá tette ezt a rejtvényt. Nehéz megérteni, hogy egy ilyen egyszerűen és világosan megfogalmazott problémát miért ne kényszeríthetne térdre a tudomány fejlődése. Gondoljunk csak a tudományok óriási változásaira! Az orvostudomány „nedvektől” jutott el a génsebészetig; felfedezték az alapvető atomi részecskéket; az ember eljutott a Holdra, de mindeközben a számelmélet nagy Fermat-sejtése megoldatlan maradt.

Anyaggyűjtő munkámban egy ideig arra a kérdésre kerestem választ, hogy miért érdekel a nagy Fermat-sejtés másokat is, nem csak a matematikusokat; miért érdemes filmet készíteni róla. A matematikának számtalan gyakorlati alkalmazása van, de a számelmélet legizgalmasabb felhasználásai: a titkosírás, az akusztikus zavarás tervezése vagy a távoli űrhajók közötti kommunikáció nem igazán közönségcsalogató témák. Nagyon is lenyűgözők viszont maguk a matematikusok, meg az a szenvedélyesség, amely elhatalmasodik rajtuk, mihelyt Fermat neve szóba kerül.

A matematika a gondolkodás egyik legtisztább formája. A kívülállóknak úgy tűnik, hogy a matematikusok szinte nem is ebben a világban élnek. Meglepett, milyen szabatosan fejezték ki gondolataikat. Kérdéseimre csak ritkán adtak azonnali választ; rendszerint várnom kellett egy kicsit, amíg a válasz pontos szerkezete alakot öltött a fejükben, de azt azután olyan világosan és gondosan fejezték ki, hogy szebbet nem is kívánhat az ember. Amikor Andrew barátját, Peter Sarnakot faggattam erről, elmagyarázta, hogy a matematikusok utálnak hamis állításokat tenni. Követik persze intuíciójukat és ösztöneiket, de a formális állításoknak tökéleteseknek kell lenniük. A matematika középpontjában az egzakt bizonyítás áll, és ez minden más tudománytól megkülönbözteti. Más tudományok hipotéziseket állítanak fel, és ellenőrzik őket, míg azok meg nem dőlnek a kísérleti bizonyítékok súlya alatt, majd új hipotéziseket állítanak a helyükbe; a matematikában viszont az abszolút bizonyítás a cél. Ha tehát egyszer valami be van bizonyítva, akkor az mindörökre be van bizonyítva, nem kell felülbírálni többé. A nagy Fermat-sejtés a legsúlyosabb próbatétel volt a matematikusoknak; aki megoldja, azé az egész tudományág elismerése.

Díjakat ajánlottak fel a bizonyításért, és folyt a vetélkedés. A nagy Fermat-sejtésnek érdekes története van; halálnak és csalásnak is jutott benne szerep. És elősegítette a matematika fejlődését. Ahogy a Harvard Egyetem matematikusa, Barry Mazur rámutatott, a Fermat-sejtés mintegy „megbélyegezte” a korábbi bizonyítási kísérletekhez kapcsolódó matematikai területeket. A sors fintora, hogy éppen egy ilyen matematikai ágazat alkotta Wiles bizonyításának gerincét.

Ahogy fokozatosan egyre többet felfogtam ebből a nekem ismeretlen világból, mindinkább kezdtem becsülni a nagy Fermat-sejtés középponti, pontosabban szólva, ösztönző szerepét a matematika fejlődésében. Fermat volt a modern számelmélet atyja. A matematika alakult, fejlődött, sokféle különleges területtel gazdagodott az ő kora óta, ezeken az új területeken új módszerek révén újabb matematikai területek alakultak ki, és váltak maguk is céllá. Ahogy teltek az évszázadok, a nagy Fermat-sejtés egyre jobban kikerült a matematikai kutatás élvonalából, egyre inkább csak kuriózumnak számított. De most már világos, hogy mindvégig megőrizte központi szerepét a matematikában.

A számokkal kapcsolatos kérdések, akárcsak Fermat problémája, gyerekeknek szóló fejtörőkre emlékeztetnek, s a matematikusok szeretnek rejtvényeket megoldani. Andrew Wiles szemében a Fermat-probléma nagyon speciális rejtvény volt, s ennek a megoldását választotta életcéljául. Amikor 1993 nyarán először hozta nyilvánosságra a bizonyítását, hétévi, elképzelhetetlen mértékű összpontosítással és elszántsággal végzett áldozatos munka volt már mögötte. Az általa felhasznált módszerek többsége még nem is létezett akkor, amikor a témával foglalkozni kezdett. Sok kiváló matematikus elképzeléseit kapcsolta össze, s fogalmakat alkotott olyan területen, ahol más elindulni sem mert. Bizonyos értelemben – ahogy Barry Mazur értékelte a dolgot – az derült ki, hogy mindenki a Fermat-sejtés bizonyításán dolgozott, de egymástól elszigetelten, nem céltudatosan, hiszen a modern matematika minden erejét összpontosítani kellett a bizonyításhoz. Andrew megint összehozta a matematika egymástól eléggé távolinak tetsző területeit. Munkája ezért, mondhatni, igazolta mindazon változások létjogosultságát, melyek a probléma felvetése óta történtek a matematikában.

Andrew Fermat-sejtésre adott bizonyításának középpontjában a Taniyama–Shimura-sejtés néven ismert elképzelés állt; ez új hidat vert teljesen különböző matematikai területek között. Sokaknak az egységes matematika a legfőbb cél, és ez a bizonyítás pontosan ebbe az irányba mutat. Fermat tételének bizonyításával Andrew Wiles ötvözte a háború utáni időszak legfontosabb számelméleti eredményeinek jó részét, és szilárd alapot adott a ráépülő sejtések sorozatának. Ez már nem pusztán egy hosszú időn át makacskodó matematikai rejtvény megfejtése volt, hanem a matematika határainak kitolása. S Fermat egyszerű, a matematika gyermekkorában született problémája mintha csak erre a pillanatra várt volna.

A matematikusok hevesen reagáltak; mindegyiküknek örvendetes volt ez a nagyszerű pillanat.

Nem csoda hát, hogy nagy felelősség szakadt Wiles nyakába, amikor 1993 őszén lassacskán kiderült: hiba csúszott az ünnepelt bizonyításba. Rajta volt a világ szeme, kollégái követelték, hogy hozza nyilvánosságra a bizonyítást; csak ő tudja, hogyan, de végig sikerült talpon maradnia. A békés magányban való matematizálást hirtelen a közvélemény figyelmétől kísért munkálkodás váltotta fel. Andrew rendkívül zárkózott ember, s keményen küzdött azért, hogy családját távol tartsa a körülötte zajló események viharától. Egyheti princetoni tartózkodásom alatt telefonáltam, leveleket hagytam az irodájában, a küszöbén és a barátainál is, sőt még angol teát is küldtem neki ajándékba, de ő egyik kezdeményező lépésemre sem reagált, egészen az elutazásom napján esett váratlan találkozásig. Akkor azután csendesen és lényegre törően beszélgettünk, alig egy negyedóráig.

Meg is állapodtunk: ha sikerül rendbe hoznia a bizonyítást, akkor megkeres, hogy megbeszéljük a filmet. Gondoltam, megvárom. De amikor aznap éjjel hazarepültem Londonba, az volt az érzésem, hogy ez a tévéprogram hamvába holt ötlet. Három évszázadon át senkinek sem sikerült kijavítania a hibát egyik bizonyítási kísérletben sem. Márpedig a matematikatörténet jó néhány ilyen alaptalan jogcímkövetelést tart számon. Bármennyire szerettem volna, hogy Wiles kivétel legyen, nehéz volt elképzelni, hogy más is juthatna neki, nem csak egy sírkő ebben a matematikustemetőben.

Egy év múlva felhívott. Egy különleges matematikai fordulattal, mélyreható éleslátása és intuíciója jóvoltából végül is pontot tett a Fermat-ügy végére. A rá következő évben találtunk időt a filmezésre. Ekkorra meghívtam Simon Singhet is, hogy legyen munkatársam a film elkészítésében. Együtt voltunk vele Andrew-nál, és megismertük hétévi magányos munkájának teljes történetét, és az azutáni év pokoli eseményeit is. Andrew úgy beszélt nekünk a munkájával kapcsolatos legbensőbb érzéseiről, mint még soha senkinek. Elmondta, hogyan ragaszkodott harminc éven át gyermekkori álmának valóra váltásához; hogy a matematikai ismeretek elsajátításában – tudtán kívül – voltaképpen a pályáját meghatározó Fermat-féle kihívás megválaszolásához gyűjtötte az eszközöket; és hogy ezentúl már semmi sem lesz a régi. Beszélt a probléma megoldása után támadt hiányérzetéről, hiszen az már nem lehetett többé gondolatainak állandó tárgya, és a megoldás adta felemelő, megkönnyebbülést hozó érzésről is. Beszélgetésünk érzelmi hőfoka jóval túltett azon, amit tudományos filmek készítésekor valaha is tapasztaltam, pedig olyan területről volt szó, amelynek a megértése nem hozzáértőknek szinte elképzelhetetlen. Ezzel lezárult Andrew Wiles életének egyik fejezete. Megtiszteltetésnek érzem, hogy ilyen közel kerülhettem hozzá.

A filmet Nagy-Britanniában Fermat utolsó tétele címmel vetítette a BBC Televíziós Társaság a Horizon-sorozatban, azután pedig a közszolgálati PBS-hálózat Amerikában, a Nova-sorozatban. Simon Singh ötvözte észrevételeit és a személyes beszélgetések tapasztalatait a Fermat-sejtés történetének teljes gazdagságával, s történelmi, matematikai környezetbe ágyazva írta le ebben a könyvben, az emberi gondolkodás egyik legkiemelkedőbb történetének teljes és részletes dokumentumában.

John Lynch

a BBC Televíziós Társaság

Horizon-sorozatának szerkesztője

1997. március

Bevezetés

A nagy Fermat-sejtés története erős szálakkal kapcsolódik a matematikatörténetben a számelmélet valamennyi főtémájához. Sajátos betekintést kaphatunk rajta keresztül abba, mi viszi előre a matematikát, s ami talán még ennél is fontosabb: mi hajtja a matematikusokat. A nagy Fermat-sejtés bonyodalmas, bátorsággal, piszkos ügyekkel, alattomossággal és tragédiákkal átszőtt történet, s a matematikatörténet minden nagy alakja szerephez jutott benne.

A Fermat-sejtés az ókori görög matematikából ered, kétezer évvel korábbról tehát, mint azt a Pierre de Fermat-féle mai formájából gondolni lehetne. Ez a sejtés a matematika püthagoraszi alapjait kapcsolja össze a modern matematika legbonyolultabb elképzeléseivel. A könyv írásakor főként a kronológiai sorrendet követtem: a történet a Püthagoreus Testvériség forradalmi szellemiségétől indul, és Andrew Wiles személyes történetével, a Fermat-rejtvény megoldásáért vívott küzdelem leírásával zárul.

Az 1. fejezet Püthagorasz (régies írásmód szerint Pitagorasz) életútját követi végig. Kiderül belőle, hogy a Pitagorasz-tétel tulajdonképpen közvetlen őse a nagy Fermat-sejtésnek. Ebben a fejezetben definiálok továbbá néhány, a könyvben lépten-nyomon előkerülő alapfogalmat. A 2. fejezet elmondja, hogyan folytatódott az ókori görög történet a 17. századi Franciaországban, ahol Pierre de Fermat megalkotta ezt a mély értelmű rejtvényt. Fermat különleges egyéniség volt, s korántsem csak ezzel a híres sejtéssel gazdagította a matematikát. Jó néhány oldalt szentelek élettörténetének és néhány ragyogó felfedezésének.

A 3. és 4. fejezet azoknak a kísérleteknek a története, amelyekkel a 18. és 19. században meg a 20. század elején bizonyítani próbálták a nagy Fermat-sejtést. Bár ezek az erőfeszítések kudarcra voltak ítélve, a matematikai módszereknek és eszközöknek csodálatos fegyvertárát alkották meg, s ezekből a fegyverekből egyik-másik csakugyan lényeges szerepet játszott a nagy Fermat-sejtés legutóbbi bizonyítási kísérleteiben. A matematikai kérdések leírásán túl a fejezet főként azokról a matematikusokról szól, akiket megbabonázott Fermat öröksége. Történetük azt példázza, hogy a matematikusok képesek mindent feláldozni az igazság felderítéséért, s azt is megmutatja, hogyan fejlődött a matematika az évszázadok folyamán.

A könyv további része az utóbbi negyven év figyelemre méltó eseményeinek krónikája: ebben az időszakban forradalmi változások zajlottak a nagy Fermat-sejtés megoldásának történetében. A 6. és 7. fejezet Andrew Wiles munkájára összpontosít; az ő eredményei csodálkozásra késztették a matematikustársadalmat az utóbbi évtizedben. Ezek az utolsó fejezetek a Wilesszal készült átfogó interjúkra építenek. Jóvoltukból egyedülálló lehetőségem nyílt közvetlenül megismerni a 20. század legkülönösebb szellemi utazását. Remélem, hogy a könyvben sikerült híven jellemeznem azt a hősies alkotói magatartást, amely Wilest átvezette a tíz év megpróbáltatásain.

Ahogy elmondom Pierre de Fermat történetét, és leírom zavarba ejtő rejtvényét, megpróbálom a matematikai fogalmakat lehetőleg egyenletek felírása nélkül jellemezni, de itt-ott mégis elkerülhetetlen, hogy fel ne bukkanjon egy x, y és z. Ilyenkor is igyekszem azonban kellő magyarázattal szolgálni, hogy a matematikai háttér nélküli olvasó is megérthesse az egyenlet jelentését. A témát kissé mélyebben ismerő olvasók pedig a számos függelékből követhetik nyomon a fő szövegrészekben leírt matematikai elképzeléseket. És irodalomjegyzéket is adtam, hogy a matematikától távolabb álló érdeklődők további részleteket is megismerhessenek egy-egy matematikai területről.

Sokak segítsége és közreműködése kellett ahhoz, hogy ez a könyv megszülessen. Külön köszönettel tartozom Andrew Wilesnak, aki vette a fáradságot, és hosszú és kimerítő interjúkat adott életének egy meglehetősen feszített időszakában. Hétéves tudományos újságírói működésem alatt soha nem találkoztam még a kutatási témája iránt ilyen szenvedélyesen elkötelezett tudóssal, és örökké hálás leszek érte, hogy hajlandó volt beszélni velem a történtekről.

Köszönet illet más matematikusokat is, amiért segítségemre voltak a könyv megírásában, és sok idejüket pazarolták rám. Többüknek szoros köze van a megoldáshoz, mások csupán tanúi voltak az utóbbi negyven év történelmi eseményeinek. Nagyon élveztem a kérdezősködéssel és csevegéssel velük eltöltött időt. Becsülöm azt a türelmet és lelkesedést, amellyel olyan sok szép matematikai elképzelést elmagyaráztak nekem. Külön köszönettel tartozom John Coates, John Conway, Nick Katz, Barry Mazur, Ken Ribet, Peter Sarnak, Goro Shimura és Richard Taylor matematikusoknak.

Megpróbáltam lehetőség szerint minél több arcképet bemutatni a könyvben, hogy az olvasó minél jobban érzékelhesse azoknak az embereknek a jellemét, akik a nagy Fermat-sejtés történetével kapcsolatba kerültek. Különböző könyvtárak és archívumok voltak ebben segítségemre. Ezúton is szeretnék köszönetet mondani Susan Oakesnak (Londoni Matematikai Társulat), Sandra Cummingnak (Királyi Természettudományos Társaság) és lan Stewartnak (Warwick Egyetem). Hálás vagyok Jacquelin Savaninak (Princetoni Egyetem), Duncan McAngusnak, Jeremy Graynek, Paul Balisternek és az Isaac Newton Intézetnek, hogy elláttak kutatási anyaggal. Köszönöm továbbá Dawn Dzedzy, Patrick Walsh, Christopher Potter, Bernadette Alves, Sanjida O’Connell és a szüleim megjegyzéseit, és az utóbbi évben tőlük kapott támogatást.

A könyvben idézett interjúk többsége akkor készült, amikor a tévéfilmet forgattuk a nagy Fermat-sejtésről. Köszönet illeti a BBC Televíziós Társaságot, hogy engedélyt adott az anyag felhasználására, kivált John Lynchet: együtt dolgoztam vele a dokumentumfilmen, és ösztönözte a témával kapcsolatos érdeklődésemet.

Jóllehet a nagy Fermat-sejtés a matematika legnehezebb problémájának bizonyult, remélem, hogy sikerült kifejezésre juttatnom vele kapcsolatban a matematikáról vallott nézeteimet, és sikerült megvilágítanom, miért nyűgözte le a matematikusokat több mint három évszázadon át. A matematika az egyik legtisztább és legmélyenszántóbb tudományág. Ebbe a csodálatos világba akartam bepillantást adni az olvasónak.

Andrew Wiles tízéves korában, amikor először találkozott a nagy Fermat-sejtéssel

1
„Azt hiszem, itt abba is hagyom”

Arkhimédészre akkor is emlékezni fognak, amikor Aiszkhüloszt már rég nem ismeri senki, mert a nyelvek feledésbe merülhetnek, de a matematika eredményei soha. Lehet, hogy a „halhatatlanság” ostoba szó, de bármit jelentsen is, a matematikusok pályázhatnak a legnagyobb eséllyel az elnyerésére.

G. H. HARDY

1993. június 23., Cambridge

Ez volt az évszázad legjelentősebb matematikai előadása. Kétszáz matematikus feszült figyelemmel csüggött az előadón. Talán ha negyedük értette teljesen a táblára írt, görög szimbólumokkal és algebrai jelekkel megtűzdelt magyarázatot. A többiek csak azért voltak jelen, mert remélték, hogy igazi történelmi esemény szemtanúi lehetnek.

A híresztelések egy nappal korábban kezdődtek. Az interneten szétküldött elektronikus levelek arra tippeltek, hogy az előadás csúcspontja a világ leghíresebb matematikai problémájának, a nagy Fermat-sejtésnek a bizonyítása lesz. Az efféle pletyka nem számított rendkívülinek. A délutáni tea mellett gyakori beszédtéma volt Fermat utolsó tétele, és a matematikusok azt találgatták, hogy ki min dolgozhat ebben a tárgyban. Időnként a felsőbb évesek arról pusmogtak, hogy megvan az áttörés, de ennek nem volt semmi alapja.

Most azonban más volt a helyzet. Amikor a három tábla megtelt számításokkal, az előadó szünetet tartott. Letörölte az első táblát, majd folyt tovább az algebrai magyarázat. Úgy festett, hogy minden sornyi matematikával valamelyest közelebb került volna a megoldás. De már eltelt harminc perc, és az előadó még mindig nem jelentette be a bizonyítást. Az első sorokba zsúfolódott professzorok türelmetlenül várták a végkifejletet. A hátul álldogáló diákok professzoraikat figyelték, nem mutatják-e valami jelét annak, hogy mire megy a játék: vajon a nagy Fermat-sejtés teljes bizonyítását látják-e, vagy csak egy befejezetlen, csalódást okozó indoklást?

Az előadó Andrew Wiles volt, egy zárkózott angol; 1980-ban települt át Amerikába, hogy ott a Princetoni Egyetem professzoraként dolgozzon; nemzedékének egyik legtehetségesebb matematikusaként tartották számon. Igaz, az előző években szinte teljesen távol maradt a konferenciák és a szemináriumok évente ismétlődő körforgásától, s kollégái gondolatban már-már le is írták. Elég gyakori eset, hogy egy-egy ragyogó fiatal tehetség kiég, amint erre Alfred Adler matematikus is utal: „A matematikus matematikai pályafutása rövid ideig tart. 25–30 éves korra már ritkán javul a teljesítménye. Ha addig keveset tett, akkor sokat azután sem fog már.”

„A fiatalok csak bizonyítsanak tételeket, az öregek pedig írjanak könyveket” – jegyzi meg Godfrey Harold Hardy is Egy matematikus védőbeszéde (A Mathematician’s Apology) című könyvében. „Egyetlen matematikusnak sem szabad megfeledkeznie arról, hogy a matematika – sokkal inkább, mint a többi tudomány vagy művészet – a fiatalok játéka. Hogy egy egyszerű példát hozzak: az életkori átlagot tekintve a matematikusok kerülnek be legfiatalabban a Királyi Természettudományos Társaságba (a Royal Societybe).” Hardy legkiválóbb tanítványa, Srinivasa Ramanujan is csak harmincegy éves volt, amikor a Királyi Természettudományos Társaság a tagjai sorába választotta, mivel már ennyire fiatalon számtalan kiugró eredményt mutatott fel. Jóllehet, a dél-indiai Kumbakonamban, ahol felnőtt, nagyon csekély iskolai képzésben volt része, olyan tételekkel és bizonyításokkal állt elő, amilyenek a nyugati matematikusoknak nem jutottak eszébe. Úgy tűnik, hogy a matematikában a hosszú évek alatt megszerzett tapasztalat sokkal kevésbé fontos, mint az ifjúkori intuíció és merészség.

Akadt más rövid pályafutású, mégis kiemelkedő munkásságú matematikus is. Niels Henrik Abel 19. századi norvég matematikus még csak tizenkilenc éves volt, amikor megalkotta legkiemelkedőbb matematikai eredményét. Nagy szegénységben élve nyolc évvel később tuberkulózisban halt meg. Charles Hermite ezt mondta róla: „Olyasmit hagyott örökül a matematikusoknak, ami ötszáz évre elegendő elfoglaltságot ad.” Abel felfedezéseinek kétségkívül nagy hatásuk van a mai számelméletre is. Abel éppily tehetséges kortársa, Évariste Galois szintén húszévesnél fiatalabban alkotta meg fő eredményét.

Hardy egyszer a következő megjegyzést tette: „Nem tudok olyan kiemelkedő matematikai eredményről, amely egy ötven évnél idősebb ember kezdeményezéséből született volna.” Középkorú matematikusok tevékenységében a kutatás gyakran háttérbe szorul; pályájuk hátralevő éveit inkább tanításra és tudományos ügyek intézésére szánják. Andrew Wilesra mindez egyáltalán nem áll. Bár elérte a bűvös negyvenes korhatárt, az előadás előtti hét évben teljesen titokban dolgozott a matematika egyedülállóan nagy problémáján. Míg mások azt hitték, hogy már nemigen várható tőle semmi, óriásit lépett előre, új módszereket és eszközöket fedezett fel, s ezeket kész volt a világ elé tárni. Az a döntése, hogy teljesen egyedül dolgozik, nagyon kockázatos stratégia volt, párját ritkító eset a mai matematika világában.

Egyetemi berkekben – a találmányok nem lévén szabadalmaztathatók – legkevésbé a matematikai tanszéken dívik a titkolódzás. A matematikusközösségek büszkék eszmecseréik nyílt és szabad légkörére és a délutáni teaszünetekre, ilyenkor – a napi rítus részeként – keksz és Earl Grey tea mellett megvitatják elképzeléseiket, és felfedezésekre jutnak. Ezért egyre gyakoribb, hogy társszerzők vagy matematikus munkacsoportok közösen publikálnak cikkeket, és a dicsőségen is megosztoznak. Ám ha Wiles professzor egymaga alkotja meg a nagy Fermat-sejtés teljes és pontos bizonyítását, akkor az övé, és csak az övé a matematikatörténet legjobban áhított díja. A titkolódzásnak azonban nagy az ára: a matematikusközösségből előzőleg senkivel sem vitatta meg, és senkivel sem ellenőriztette elképzeléseit, ezért nagy volt a kockázat, hogy valamilyen hibát ejtett a bizonyításban.

Eredetileg Wiles több időt szánt arra, hogy még egyszer végignézze s ellenőrizze a végső kéziratot. De azután letett róla, mert egyedülálló lehetősége adódott arra, hogy Cambridge-ben, az Isaac Newton Intézetben jelenthesse be felfedezését. Ez az intézet éppen azért jött létre, hogy összehozza néhány hétre a világ legnagyobb elméit, s azok szemináriumot tartsanak egy kiválasztott, élenjáró kutatási témáról. Az egyetemi terület határához közeli, a diákoktól és egyéb zavaró körülményektől távol eső épületet olyan sajátosra tervezték, hogy a tudósokat együttes munkára és gondolataik összeszedésére ösztönözze. Nincsenek búvóhelyként kínálkozó beugrók a folyosókon, és minden dolgozószoba egy központi térbe nyílik. Ez mind azért van így, hogy a matematikusok ebben a nyílt térben töltsék az idejüket, és ne akarjanak a dolgozószobájukba zárkózni. Minden a közös munkára készteti őket, még a járás-kelés is: a mindössze háromemeletes épületnek még a liftjében is van írásra egy tábla; van egyébként minden egyes helyiségében, még a fürdőszobákban is. A Newton Intézet szemináriumának ez alkalommal az L-függvények és a számelmélet volt a címe. A világ összes kiváló számelmélésze összegyűlt, hogy megvitassa az ehhez az erősen specializálódott matematikai területhez kapcsolódó problémákat. De csak Wiles jött rá arra, hogy az L-függvények adják a megoldás kulcsát a nagy Fermat-sejtéshez.

Az is nagyon vonzó volt a szemében, hogy ilyen kiváló hallgatóság előtt mutathatja be a munkáját, de még fontosabb volt, hogy mindezt Cambridge-ben, szülővárosában teheti. Itt született, itt nőtt fel, itt alakult ki szenvedélye a számok iránt, és itt kezdett el dolgozni az életének további alakulását meghatározó problémán.

Az utolsó probléma

Andrew Wilest már 1963-ban, tízéves korában megigézte a matematika: „Szerettem problémákat megoldani az iskolában, haza is vittem őket, és új, saját kérdéseket fogalmaztam meg. De a legcsodálatosabb problémára a helyi könyvtárban bukkantam rá.”

Egy nap az iskolából hazafelé menet betért a Milton úti könyvtárba. Az egyetemi könyvtárakhoz képest ez meglehetősen szerény volt ugyan, de óriási gyűjteménye volt fejtörő könyvekből, és ez gyakran magára vonta Wiles figyelmét. Ezek a könyvek tele voltak mindenféle tudományos talányokkal és matematikai rejtvényekkel, és a válasz is bennük volt az utolsó oldalak valamelyikén. De most olyan könyv keltette fel Andrew érdeklődését, amelyik csak egyetlen problémával foglalkozott, s nem volt meg benne a megoldás.

A könyv Eric Temple Bell Az utolsó probléma (The Last Problem) című műve volt, egy olyan matematikai probléma története, amely az ókori görögökig nyúlik vissza, de csak a 17. században került az érdeklődés középpontjába. Ekkor történt ugyanis, hogy a híres francia matematikus, Pierre de Fermat óvatlanul leírta, és ezzel szinte kihívta vele a világot. Nagy matematikusok egymás után maradtak alul a Fermat-örökséggel való küzdelemben, s háromszáz évig nem akadt senki, aki megoldotta volna.

Harminc évvel a könyv elolvasása után Wiles így idézi fel, mit érzett Fermat utolsó tételének láttán: „Olyan egyszerűnek látszott, és semelyik nagy matematikus nem boldogult vele a történelemben. Itt volt egy probléma, amelyet én, a tízéves kölyök is megérthettem. Attól a pillanattól kezdve tudtam, hogy soha nem engedem ki a kezemből. Meg kellett oldanom.”

A matematikai problémákat általában már felfogni is csak komoly erőfeszítés árán lehet. De itt nem ez a helyzet, mivel csupán annyit állítunk, hogy a következő egyenletnek nincs pozitív egész megoldása:

xn + yn = zn, ha n > 2.

A probléma azért tetszik olyan egyszerűnek, mert a matematikának egy mindenki által ismert részletére épül: a Pitagorasz-tételre.

A derékszögű háromszögben az átfogó négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összegével,

avagy: x2 + y2 = z2.

A Pitagorasz-tétel belevésődött milliónyi, sőt talán milliárdnyi ember tudatába. Ez olyan alaptétel, amelyet minden iskolás gyereknek meg kell tanulnia. Bár megértheti egy tízéves kölyök is, ez a tétel inspirálta azt a problémát, amelyik eddig kifogott a történelem legkiválóbb matematikusain is.

A Kr. e. 6. században a számoszi Püthagorasz volt a matematika egyik legbefolyásosabb, egyszersmind legrejtélyesebb alakja. Mivel nincsenek első kézből való beszámolók életéről és munkásságáról, azért mítosz és legenda övezi alakját, a történészeknek nehéz tehát elválasztaniuk a valóságot a legendától. Annyi bizonyosnak látszik, hogy Püthagorasz volt a számlogika atyja, és az ő nevéhez fűződik a matematika első aranykora is. Ennek a géniusznak köszönhető, hogy a számokat már nem csupán számlálásra és számításokhoz használták, hanem önmagukért is foglalkoztak velük. Püthagorasz tanulmányozta egyes számok tulajdonságait, kapcsolatukat és viselkedésüket. Rájött arra, hogy a számok az érzékelhető világtól függetlenül léteznek, és ezért tanulmányozásuk nincs kitéve az észlelés pontatlanságának. Ez annyit tesz, hogy olyan igazságokat fedezhetett fel, amelyek függetlenek véleményektől és előítéletektől, és sokkal tökéletesebbek, mint bármely eddigi ismeret.

Püthagorasz úgy tett szert matematikai ismereteire, hogy beutazta szinte az egész ismert ókori világot. Egyes történetek szerint egészen Indiáig és Britanniáig utazott, de valószínűbb, hogy az egyiptomiaktól és a babiloniaktól vett át számos módszert és eszközt. Ezek az ókori népek túlléptek az egyszerű számolás korlátain, bonyolult számításokat is végeztek, s ennek eredményeképpen okos számolási eljárásokat dolgoztak ki, és alaposan megtervezett épületeket konstruáltak. A matematikában inkább csak a gyakorlati problémák megoldásának segédeszközét látták; a geometria alaptörvényeinek felfedezésére csupán az vezette rá őket, hogy rekonstruálni akarták a birtokhatárokat a Nílus szokásos évi áradásai után. Maga a „geometria” szó is annyit tesz: „földet mérni”.

Püthagorasz megfigyelte, hogy az egyiptomiak és babiloniak minden számításban vakon követtek bizonyos előírásokat. Receptjeik nemzedékről nemzedékre öröklődtek, és mindig jó eredményt adtak, ezért soha senki nem vonta kétségbe őket, és nem volt kíváncsi arra, hogy miféle logikus magyarázat van ezekre a képletekre. Ezeknek a civilizációknak csak az volt a fontos, hogy a számolás jó eredményt adjon; hogy miért, az nem foglalkoztatta őket.

Húszéves utazgatás után Püthagorasz összegyűjtötte az akkori világ összes matematikai ismeretét. Azzal a szándékkal hajózott haza az égei-tengeri Számosz szigetére, hogy filozófiai iskolát alapítson, s ott főként az általa újonnan elsajátított matematikai törvények kutatásának szenteljék az időt. Nemcsak használni akarta a számokat, hanem meg is akarta érteni a logikájukat. Remélte, hogy lesz majd bőven szabadon gondolkodó tanítvány, s azok segíteni fogják abban, hogy megalkossa gyökeresen új filozófiáját. Távolléte alatt azonban a zsarnok Polükratész hatalmába kerítette az egykor szabad szellemű Számoszt, és másságot nem tűrő, konzervatív állammá változtatta; meghívta az udvarába Püthagoraszt, de a filozófus átlátott a szitán: a zsarnok csak el akarja őt hallgattatni, visszautasította tehát ezt a megtiszteltetést. Inkább elhagyta a várost, és egy barlangot választott hajlékául a sziget egy félreeső részén, hogy háborítatlanul elmélkedhessék.

De nehezen viselte ezt a magányt, és ezért szó szerint megvesztegetett egy fiatal fiút, hogy legyen a tanítványa. E fiú kiléte nem ismeretes, bár egyes történészek szerint neki is Püthagorasz volt a neve; ez a tanítvány azzal szerzett hírnevet, hogy ő javasolta elsőként: az atléták egyenek húst fizikai erőnlétük javítására. Püthagorasz, a tanár minden alkalommal három obulust fizetett a diákjának, és néhány hét elteltével azt tapasztalta, hogy a fiúnak a tanulás iránti kezdeti idegenkedése szenvedélyes tudásszomjjá változott át. Püthagorasz úgy győződött meg erről, hogy azt tettette: nem tud tovább fizetni tanítványának az órákért, abba kell tehát hagynia a tanítást. Ekkor a fiú ajánlotta fel, hogy fizetne az órákért, nehogy vége legyen a tanulásnak. A fiú Püthagorasz követője lett, sajnos rajta kívül más tanítvány nem akadt Számoszon. Bár Püthagorasz alapított egy rövid életű iskolát, a Püthagoraszi Félkört, de a társadalmi reformokról vallott nézeteit az uralkodó elfogadhatatlannak tartotta, s menekülésre késztette a filozófust, valamint annak anyját és egyetlen tanítványát is.

Dél-Itáliába ment, ami akkor Magna Graecia (Nagy-Görögország) része volt, és Krotónban telepedett le; ott eszményi patrónusra talált Milón személyében. Milón Krotón leggazdagabb embere volt, s egyben a történelemből ismert legerősebb ember is. Bár Püthagorasz mint a számoszi bölcs egyre ismertebbé vált az egész görög birodalomban, Milón hírneve az övét is túlszárnyalta. Herkulesi fizikuma volt: tizenkétszer nyerte meg az olimpiai és püthiai játékokat, s ebben nem akadt párja. Az atlétika mellett kedvelte és tanulta is a filozófiát meg a matematikát. Háza egy részét átengedte Püthagorasznak, és helyet adott az iskolának is. A legkreatívabb elme társult tehát a legerősebb fizikummal.

Új otthonának biztonságos falai között Püthagorasz hatszáz követőjével együtt – ők nemcsak megértették, hanem alkotó módon ötletekkel és bizonyításokkal tovább is fejlesztették tanításait – megalakította a Püthagoreus Testvériséget. Aki belépett a Testvériségbe, az földi javait átadta a társaságnak, s ha meg akart válni a közösségtől, akkor eredeti adományának kétszeresét kapta vissza; a távozók emlékére egy-egy sírkövet állítottak. A Testvériség a női egyenjogúság híve volt: számos nő lépett be a tagjai közé. Püthagorasznak Milón lánya volt a kedvenc tanítványa, a gyönyörű Theanó; a korkülönbséggel mit sem törődve össze is házasodtak.

Röviddel a Testvériség megalapítása után alkotta meg Püthagorasz a filozófus szót, mintegy megfogalmazva vele iskolájának céljait. Amikor León, Phliusz uralkodója részt vett az olimpiai játékokon, megkérdezte Püthagoraszt, hogyan jellemezné magát. Püthagorasz így válaszolt: „Filozófus vagyok.” Mivel León nem ismerte a szót, magyarázatot kért rá.

Uralkodó, az élet nagyon hasonló ezekhez az olimpiai játékokhoz, ahol hatalmas tömeg gyűlik össze, s kit a nyereségvágy vezérel köztük, kit a hírnév és dicsőség reménye. De csak kevesen jönnek ide azért, hogy megfigyeljék és megértsék, mi történik itt.

Ugyanez áll az életre. Némelyeket a jólét vonz, másokat elvakít a hatalom és birtoklás őrült láza, de a legkülönb emberek azt kutatják, hogy mi az élet célja és értelme. Ezek a természet titkait akarják feltárni. Ezt a fajtát nevezem filozófusnak. Ámbátor senki emberfia nem lehet elég bölcs minden tekintetben, de az ilyen ember szereti a bölcsességet, mivel ez a kulcs a természet titkaihoz.

Bár sokan tudtak róla, hogy mivel foglalkozik Püthagorasz, de a Testvériség tagjain kívül voltaképpen senkinek sem volt tudomása arról, hogy milyen horderejű eredményeket értek el, mert erről nem szivárgott ki semmi. Az iskola minden tagja átok terhe mellett esküt tett, hogy soha nem fedik fel a világnak matematikai felfedezéseiket. Az esküszegést még Püthagorasz halála után is megtorolták: a Testvériség egyik tagját vízbe fojtották, mert esküjét megszegve nyilvánosságra hozta egy új szabályos test, a tizenkét szabályos ötszöglap határolta dodekaéder felfedezését. Részben ez a szigorú titoktartás az oka annak, hogy mítoszok alakultak ki állítólagos különös szertartásaikról, és hogy olyan kevés megbízható híradás maradt fenn matematikai eredményeikről.

Annyit biztosan tudunk, hogy a püthagoraszi világkép megváltoztatta a matematikát. A Testvériség voltaképpen vallási közösség volt, és a szám volt imádatuk egyik tárgya. Azt hitték, hogy a számok közötti kapcsolatok megértésével megfejthetik a világmindenség spirituális titkait, és közelebb kerülhetnek az istenekhez. A Testvériség főként a számolásnál használt számokat (1, 2, 3, …) és a törteket tanulmányozta. Ezeket a számokat pozitív egészeknek vagy természetes számoknak nevezzük (bár a matematikusok ez utóbbiak közé veszik a 0-t is). Az egész számok hányadosaként előálló törtekre pedig a racionális szám elnevezéssel hivatkozunk. A végtelen sok szám között a Testvériség főként a különleges jelentőségűek után kutatott. Az egyik legsajátosabb számfajta a „tökéletes szám” volt.

Püthagorasz szerint valamely szám tökéletessége az osztóitól függ. Számon pozitív egész számot, osztóján pedig csak pozitív, e számnál kisebb olyan számokat értünk, amelyek maradék nélkül megvannak a szóban forgó számban. Például a 12 így értelmezett osztói: 1, 2, 3, 4 és 6. Ha a szám osztóinak összege nagyobb magánál a számnál, akkor a számot „bővelkedő” számnak nevezzük. Mivel a 12 osztóinak összege 16, azért a 12 bővelkedő szám. Ha a szám osztóinak összege a számnál kisebb, akkor a számot „hiányos” számnak nevezzük. A 10 hiányos szám, mert osztóinak (1, 2 és 5) összege csak 8.

Azok a legnevezetesebb és legritkább számok, amelyeknek az osztóit összeadva éppen a számot magát kapjuk. Az ilyen számokat tökéletes számoknak nevezzük. A 6 osztói: az 1, 2 és a 3, a 6 tehát tökéletes szám, hiszen 1 + 2 + 3 = 6. A következő tökéletes szám a 28, mivel 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

A 6-ot és 28-at más kultúrák is tökéletes számnak tartották, bár más okból, mint a Testvériség: megfigyelték ugyanis, hogy a Hold 28 nap alatt kerüli meg a Földet, mások pedig úgy vélték, hogy Isten hat nap alatt teremtette a világot. Szent Ágoston Az Isten városáról című könyvében azzal érvel, hogy Isten egy pillanat alatt is megteremthette volna a világot, de azért teremtette éppen hat nap alatt, hogy ezzel is kifejezésre juttassa a világegyetem tökéletességét. Szent Ágoston szerint a 6 nem azért tökéletes szám, mivel Isten ezt választotta, hanem a számban magában rejlő okok miatt: „A 6 önmagában tökéletes, s nem azért, mert Isten mindent hat nap alatt teremtett; ennek a fordítottja igaz: Isten azért teremtett mindent hat nap alatt, mert ez a szám tökéletes. És akkor is tökéletes lenne, ha ez a hatnapos munka nem lett volna.”

Ahogy egyre nagyobb számokat vizsgálunk, egyre ritkábbak közöttük a tökéletes számok. A harmadik tökéletes szám a 496, a negyedik a 8128, az ötödik a 33 550 336, a hatodik pedig a 8 589 869 056. Püthagorasz észrevette, hogy a tökéletes számoknak számos más érdekes tulajdonságuk is van amellett, hogy osztóik összegével egyenlők. Például előállíthatok szomszédos számok összegeként:

    6 = 1 + 2 + 3,

   28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,

  496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 30 + 31,

8128 = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 126 + 127.

Püthagoraszt elszórakoztatták a tökéletes számok, de nemcsak gyűjtötte őket, hanem fel akarta fedezni azt is, milyen mélyebb tartalom rejlik mögöttük. Egyik észrevétele az volt, hogy a tökéletesség és a „kettősség” valamilyen módon kapcsolódik egymáshoz. A 4 (2 × 2), a 8 (2 × 2 × 2), a 16 (2 × 2 × 2 × 2) stb. számokat 2-hatványoknak nevezzük. Ezek a számok 2n alakba írhatók; az n itt azt mutatja, hogy hány 2-est szorzunk össze. A 2-hatványok csak azért nem tökéletesek, mivel az osztóik összeadva mindig 1-gyel kevesebbet adnak náluk, ezért ezek a számok kissé hiányosak:

22 = 2 × 2 = 4

osztói: 1, 2 – összegük: 3,

23 = 2 × 2 × 2 = 8

osztói: 1, 2, 4 – összegük: 7,

24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

osztói: 1, 2, 4, 8 – összegük: 15,

25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

osztói: 1, 2, 4, 8, 16 – összegük: 31.

Két évszázaddal később Eukleidész a Püthagorasz által felfedezettnél gazdagabb összefüggést talált a tökéletesség és a kettősség között. Felismerte, hogy az ismert tökéletes számok előállíthatók két olyan szám szorzataként, amelyekből az egyik 2-hatvány, a másik pedig 1 híján a rá következő 2-hatvány, azaz

6 = 21 × (22 – 1),

28 = 22 × (23 – 1),

496 = 24 × (25 – 1),

8128 = 26 × (27 – 1).

Napjainkban számítógépekkel keresik a tökéletes számokat, és rendkívül nagyot is találtak: például a több mint 130 000 jegyből álló 2216 090 × (2216 091 – 1)-et; ez szintén eleget tesz Eukleidész szabályának.

Püthagorasz el volt ragadtatva a tökéletes számok szép rendszerétől és tulajdonságaitól, nagyra becsülte bonyolultságukat és csalafintaságukat. A tökéletesség első látásra nagyon egyszerű fogalomnak tűnik, de már az ókori görögök sem tudtak néhány rá vonatkozó alapkérdésre választ adni. Például végtelen sok olyan szám van, amely csak 1-gyel nagyobb, mint az osztóinak összege, azaz kissé hiányos, viszont kissé bővelkedő szám mintha egy sem volna. A görögök nem találtak olyan számot, amelynek osztói összeadva éppen 1-gyel adtak volna többet magánál a számnál, de nem tudták megindokolni, hogy ez miért van így. S elkeserítette őket, hogy ha már nem találnak ilyet, miért nem tudják bebizonyítani, hogy nincs is. Magyarázatot találni nem azért lett volna fontos, mert valamiféle gyakorlati hasznot hozhatott volna, hanem mert érthetőbbé tehette volna a számok viselkedését. Ilyesfajta rejtvények foglalkoztatták a Püthagoreus Testvériséget, és ma, két és fél ezer év elteltével a matematikusok még mindig nem tudják, hogy léteznek-e kissé bővelkedő számok.

Számok mindenütt

A számok közti kapcsolatok felderítésén túl Püthagoraszt a számok és a természet kapcsolatának feltárása is foglalkoztatta. Arra a felfedezésre jutott, hogy a természet jelenségei törvényeknek engedelmeskednek, és ezek a törvények felírhatók matematikai egyenletekben. Az egyik ilyen felfedezése a zenei harmónia és a számok harmóniája közti alapvető kapcsolat felismerése volt.

A korai görög zene legfontosabb hangszere a tetrakord, más néven a négyhúrú líra volt. A zenészek már Püthagorasz előtt is rájöttek arra, hogy bizonyos hangok együtthangzása kellemes hatású, és úgy hangolták be a lírát, hogy ha két húrt együtt pendítenek meg, akkor ilyen harmonikus hangzás legyen a hangjuk. De ezeknek a korai muzsikusoknak fogalmuk sem volt róla, hogy miért adnak bizonyos hangok harmonikus hatást, és nem volt semmiféle objektív eszközük a hangszerhangolásra. Egyszerűen hallás után hangolták a lírát, míg harmonikus nem lett a hangzás; ezt Platón csak úgy nevezte: a hangolószeg kínzása.

Egy 4. évszázadban élt tudós, Iamblikhosz kilenc könyvet írt a püthagoreusok szektájáról. Szerinte Püthagorasz így fedezte fel a zenei harmónia mögötti törvényszerűséget:

Egyszer azon törte a fejét, vajon szerkeszthetne-e olyan mechanikus segédeszközt, amelyik felismeri a hangokat, biztonságosan működik, egyszersmind egyszerű is. Ez az eszköz ugyanúgy segítené a hangérzékelést, ahogyan a függőón, a mérőrúd meg az optikai eszközök a látást. Mérhetővé válnának a hangok éppúgy, ahogyan a tapintásnak is van skálája, mérésmódja és mértéke. Isteni szerencse folytán egy patkolókovács műhelye mellett vitt az útja: s felfigyelt a vasverő kalapácsokra. A visszaverődő hangok – egyetlen hangkombináció kivételével – harmonikus hangzásokat keltettek.

Iamblikhosz szerint Püthagorasz berohant a kovácsműhelybe, hogy megfejtse a harmonizáló kalapácsok rejtélyét. Észrevette, hogy a legtöbb kalapács együttesen megütve harmonikus hangzást ad, de volt közöttük egy, amelyik kellemetlen hangot adott, ha valamelyik másikkal együtt ütötték meg. Megvizsgálta a harmonikusan együtthangzó kalapácsfejeket, és arra jött rá, hogy nagyon egyszerű matematikai kapcsolat van köztük: az egyiknek a súlya egyszerű törtszámszorosa volt a másikénak. Azaz ha az egyik fele, kétharmada vagy háromnegyede volt a másikénak, akkor harmonizált egymással a hangjuk. Annak a kalapácsnak a súlya viszont, amelynek a hangja nem harmonizált a többiével, nem volt ilyen törtszámmal kifejezhető kapcsolatban a többiével.

1. ábra. A szabadon rezgő húr alaphangot ad. Ha a húrt fele hosszában megérintjük, és ezzel rezgési csomópontot alakítunk ki rajta, akkor egy oktávval magasabb hang keletkezik, és az harmonizál az alaphanggal. Ha a csomópontot a húr hosszának harmad-, negyed-, ötödrészébe stb. visszük át, akkor más felharmonikusokat is megszólaltathatunk.

Püthagorasz ezzel felfedezte, hogy az egyszerű számarányokban rejlik a zenei harmónia. A tudósok azonban kétkedéssel fogadják ezt a Iamblikhosz-féle történetet. Valószínűbbnek tűnik, hogy Püthagorasz a zenei arányok új elméletét az egyszerű húr tanulmányozásából szűrte le, s csak azután alkalmazta a lírára. Ha csak egyszerűen megpendítünk egy húrt, akkor az, egész hosszában rezegve, alaphangon szólal meg. Ha bizonyos pontjait lerögzítjük, akkor más rezgéseket és hangokat is kelthetünk, ahogyan az 1. ábrán látható. Harmonikus hangzás azonban csak bizonyos, speciális helyzetű pontok rögzítésekor keletkezik. Ha a húrt például pontosan a felénél rögzítjük, akkor megpendítésekor az alaphanggal összecsengő, nálánál egy oktávval magasabb hangot hallunk. Ha a húrt pontosan a harmad-, negyed- vagy ötödrészénél rögzítjük, akkor az első esethez hasonlóan újabb harmonikus hangok keletkeznek.

Amennyiben a rögzítés helyét nem ilyen egyszerű törtszám adja meg, akkor a megszólaló hang nem harmonizál az addigiakkal.

Püthagorasz elsőként fedezett fel fizikai jelenség mögött rejlő matematikai törvényszerűséget, és ezzel megmutatta, hogy lényegi kapcsolat van a matematika és a természettudományok között. Felfedezése óta a tudósok szakadatlanul keresik azokat a matematikai törvényszerűségeket, amelyekkel leírhatják ezt vagy azt a fizikai folyamatot. Arra a következtetésre jutottak, hogy a számok mindenfajta természeti jelenségben felbukkannak. Például láthatólag egy különleges szám szabályozza a kanyargó folyók hosszát. Hans-Henrik Støllum, a Cambridge-i Egyetem egyik geológusa kiszámolta a folyók forrástól torkolatig mért tényleges hosszának és e két hely légvonalban mért távolságának arányát. Bár ez a hányados folyóról folyóra más, de az átlagos érték valamivel nagyobb háromnál, azaz a tényleges hossz nagyjából háromszorosa az egyenes útnak: pontosabban 3,14-szorosa, tehát közel esik a kör kerületének és átmérőjének jellemző arányához, a π -hez.

A π szám eredetileg a kör egyik geometriai jellemzőjét adta meg, de azóta számos más tudományos kérdésben is rendszeresen felbukkan. A folyóhosszarányban például a rend és a rendezetlenség harcát jeleníti meg. Einstein erre a következő magyarázatot adta: a folyók nyomvonala azért lesz egyre kanyargósabb, mert az enyhe ívű kanyarulatokban a külső oldalon gyorsabb a folyás, ezért erősebb az erózió, ettől pedig élesebbé válik a kanyar. S minél élesebb a kanyar, annál gyorsabb az áramlás a külső oldalon, annál erőteljesebb az erózió, annál többfelé ágazik el a folyó és így tovább. De van egy természetes gátja is a rendezetlenség növekedésének: az egyre élesebb kanyarulattal a folyó önmagába kanyarodik vissza, és ez szinte rövidzár: a folyó itt kiegyenesedik, a hurok pedig patkó alakú tóként leszakad valamelyik oldalon. Ez a két ellentétes tényező vezet együttesen a forrás és a torkolat közti teljes hossz és a légvonalban mérhető távolság hányadosának átlagosan π nagyságú értékéhez. A π arány nagyon gyakori az igen enyhe lejtésű síkságokat átszelő folyóknál, például Brazíliában vagy a szibériai tundrán.

Püthagorasz észrevette, hogy minden jelenség mögött számok rejlenek, a zenei harmóniától kezdve a bolygópályákig. Ez késztette annak a kinyilvánítására, hogy „számok vannak mindenütt”. A matematika jelentését megértve, Püthagorasz kialakította azt a nyelvet, amellyel leírhatták a világegyetem természetét. Ettől kezdve minden fontos matematikai eredmény új kifejezőeszközöket adott a tudósoknak a körülöttük zajló jelenségek még jobb megmagyarázására. A matematikai fejlődésnek tudományos forradalom jár a nyomában.