Borítószöveg

EGY KOKTÉLPARTI. EGY TERRORISTA SEJT. EGY BAKTÉRIUMTENYÉSZET. EGY NEMZETKÖZI CSOPORTOSULÁS.

Mindegyikük hálózat, egyúttal pedig mindegyikük egy meglepő tudományos forradalomnak a része. A 21. század elejének talán legfontosabb tudományos felfedezése annak meglátása, hogy minden hálózat, rendszer azonos szervezőelv alapján jön létre, és egyszerű, de hatékony szabályok révén működik. A világunkban meglévő hálózatok valódi természetének megértésével olyan fontos kérdésekben kerülhetünk közelebb a válaszhoz, mint a vírusok leküzdése, gazdasági válságok kezelése, a terrorizmus visszaszorítása, vagy akár az emberi társadalom szociális gondjainak megoldása.

Barabási Albert-László, az USA-ban élő magyar származású fizikus impozáns könnyedséggel világítja meg egy új tudományág, a komplex hálózatok kutatásának területét és főbb kérdéseit.

Barabási Albert-László

Behálózva

A hálózatok új tudománya

Hogyan kapcsolódik minden egymáshoz, és ez mit jelent a tudományban, az üzleti és a mindennapi életben
– részlet –

Libri
Kiadó

A fordítás az alábbi kiadás alapján készült:
Albert- László Barabási: Linked,
published by Plume, a member of Penguin Group (USA) Inc.
First Plum Printing, May 2003.

Copyright © Albert-Laszlo Barabasi, 2002, 2003
All rights reserved

Copyright © Hungarian translation Vicsek Mária, 2003

Felelős kiadó a Libri Kiadó ügyvezetője
Borítóterv Szabó Soma
Műszaki szerkesztő Kovács Balázs Sándor
Nyomdai előkészítés Malum Stúdió
Elektronikus könyv Nagy Lajos

ISBN 978 963 433 039 4

AZ ELSŐ LÁNCSZEM
Bevezetés

2000. február 7-e akár nagy napja is lehetett volna a Yahoo!-nak. Az internetkeresőt a szokásos napi néhány millió felhasználó helyett milliárdok próbálták elérni. Az ilyen kirobbanó népszerűség a társaságot az internetes gazdaság legértékesebb cégei közé emelhette volna. Volt azonban egy probléma. Mindegyik felhasználó pontosan ugyanabban az időpontban érkezett, és egyikük sem a tőzsdeindex vagy a diós sütemény iránt érdeklődött. A számítógépek kódolt nyelvén mindannyian a következő üzenetet küldték: „Igen, hallottalak téged!” A helyi „fekete dobozok” szerint a Yahoo! nem mondott semmit. Mégis a Yahoo! központjában a kaliforniai Santa Clarában számítógépek százai csak azzal voltak elfoglalva, hogy ezeknek a sikoltozó szellemeknek válaszoljanak. Eközben a felhasználók milliói, akiket egy film címe vagy repülőgépjegy érdekelt volna, vártak. Én is köztük voltam. Természetesen fogalmam sem volt arról, hogy a Yahoo! eközben kétségbeesetten próbál tízmilliárd szellemet kiszolgálni. Három percig türelmesen vártam, aztán egy gyorsabban válaszoló keresőhöz fordultam. A következő napon a web „krémjét”, az Amazon.com, eBay, CNN.com, ETrade és Excite társaságokat utolérte ugyanaz a varázslat: kénytelenek voltak szellemek milliárdjait kiszolgálni, akik ugyanazt a fölösleges kérdést küldték, amelyik megbénította a Yahoo!-t. A valódi vásárlók, vásárlásra készen, csillogó hitelkártyákkal a forgalomból kiszorulva várakozni kényszerültek.

Természetesen lehetetlen azt elérni, hogy több milliárd ember mind pontosan a nyugati partvidék zónaideje szerint 10:20-kor gépelje be a keresőjébe a „Yahoo.com” címet. Egyszerűen nincs ennyi számítógép. A korai hírelemzések1 szerint a vezető kereskedelmi webszolgáltatók megbénítása egy csoport tapasztalt hacker műve lehetett. Mindenki egyetértett abban, hogy számítógépőrültek egy kis csoportját felvillanyozta az a kihívás, hogy a bonyolult biztonsági rendszereket kijátsszák, és iskolai, kutatólaboratóriumi és üzleti számítógépek százait kényszerítsék arra, hogy zombiként ezt ismételgessék a Yahoo!-nak: „Igen, hallottalak téged!” Minden másodpercben hatalmas mennyiségű adattal árasztották el ezt a kiváló webhelyet, sokkal többel, mint amennyit egyáltalán képes volna kezelni. Az a támadás, amely tömeges szolgáltatásmegtagadást okozott a Yahoo!-nál, elindított egy nagy publicitást kapott nemzetközi vadászatot a felelős hackerek megtalálására.

Meglepetésre a Federal Bureau of Investigation rendkívüli nyomozati eljárása nem az előre kiszámított számítógépes terrorista szervezethez vezetett. Ehelyett az FBI egy kanadai tizenéves elővárosi otthonához jutott el. Egy internetes chatszoba lehallgatása közben figyeltek fel a nyomozók a tinire, amikor éppen új támadási célpontokra kért javaslatokat. Hetvenkedés közben csípték el.

Ez a MafiaBoy álnév mögött rejtőző tizenöt éves fiú sikeresen megbénította a világ legjobb számítógépes biztonsági szakértőivel rendelkező, milliárddolláros társaságait. Vajon ő volt korunk Dávidja, aki a legszerényebb otthoni számítógépes csúzlival felfegyverkezett, és legyőzte az információs korszak hatalmas Góliátját? Utólag a szakértők egy dologban egyetértenek: a támadás nem egy zseni műve. Olyan eszközökkel hajtották végre, amelyek a hálózaton (különböző hacker-webhelyeken) mindenki számára elérhetőek. MafiaBoy online bohóckodásaiból kiderül, hogy teljesen amatőr, akinek széles és mély lábnyomai a rendőrséget elvezette egyenesen szülei ajtajához. Alapjában véve tettei inkább Góliátra, mint Dávidra emlékeztetnek. Ahhoz nem rendelkezett elég tudással, hogy behatoljon az általa megtámadott bármelyik webhelyre, ezért ügyetlen és lassú észjárásával csak a könnyű célpontokat sikerült legyőznie, az egyetemek és kis társaságok sebezhető számítógépeit, amelyeket egyszerűen arra utasított, hogy bombázzák üzenetekkel a Yahoo!-t.

Képzeljük el a tizenöt éves fiút szobája ajtaja mögött, ahogy számítógépe fényében kéjes gyönyört lel a Yahoo!-ra elküldött, véget érni nem akaró „Igen, hallottalak téged!” üzenetekben. Ezt a mondatot saját maga is milliószor kiálthatta, mikor a mama vagy a papa vacsorázni hívta, vagy a szemetet akarta vele kivitetni. A támadás sikeréhez a nyers erő, nagy merészség és egészen kevés tapasztalat is elég volt. Éppen ez az, amire kíváncsiak vagyunk: ennek a tizenévesnek a lépései hogyan győzhették le az internetes a gazdaság legnagyobb vállalatait? Ha egyetlen suhanc képes az interneten ekkora pusztítást véghezvinni, akkor mit érhetne el gyakorlott és jól képzett szakértők egy kis csapata? Mennyire vagyunk kitéve az ilyen támadásoknak?

1.

A korai keresztények csupán egy renegát zsidó szekta voltak. A különc és problematikusnak tartott társaságot egyaránt üldözték a zsidó és római hatóságok.

Nincs történelmi bizonyíték arra, hogy szellemi vezetőjüknek, a názáreti Jézusnak, valaha is szándékában állt volna a zsidókon kívül más közösségekre is hatni. Eszméi eléggé bonyolultak és vitatottak voltak még a zsidók számára is, és az előkelő rétegek megszólítása különösen reménytelennek tűnt. Kezdetben az őt követni kívánó, nem zsidó vallásúaknak körül kellett metéltetniük magukat, engedelmeskedniük kellett a judaizmus korabeli törvényeinek, és kirekesztették őket a Templomból, a korai zsidó kereszténység szellemi központjából. Csak kevesen követték ezt az utat. Hiszen majdnem lehetetlen volt a kereszténység üzenetét az emberekhez eljuttatni. A korabeli szétszórt és röghöz kötött társadalomban a híreket és eszméket utazók terjesztették, a távolságok pedig nagyok voltak. Úgy látszott, hogy a kereszténység – sok más vallási mozgalomhoz hasonlóan – ismeretlenségre van kárhoztatva. Az esélytelenség ellenére ma közel kétmilliárd ember vallja magát kereszténynek. Hogy történhetett ez? Hogyan lettek egy kis és lenézett zsidó szekta liberális eszméi a nyugati világ vezető vallásának alapjai?

Sokak szerint a kereszténység győzelmét annak az üzenetnek köszönheti, amelyet a ma názáreti Jézusként ismert történelmi személy kínált. Napjaink marketingszakértői ezt az üzenetet „ragadósnak” mondanák. Megérintette az embereket, és generációk adták tovább, miközben más vallási mozgalmak felvirágoztak, majd el is tűntek.

A kereszténység sikerét valójában egy ortodox és istenfélő zsidónak köszönheti, aki Jézussal soha nem találkozott. Héber neve Saul volt, de számunkra római nevén, Pálként ismertebb.2 Pál élete küldetésének a kereszténység megfékezését tekintette. Közösségről közösségre utazott a keresztényeket üldözve, mert azok Jézust, akit a hatóságok istenkáromlóként elítéltek, Istennel egyenlőként imádták. Pál korbácsolást, kiátkozást és kiközösítést is használt, hogy fenntartsa a hagyományokat, és rákényszerítse a tévelygőket a zsidó törvényeknek való engedelmeskedésre. Ám a történelmi beszámolók szerint ez az ádáz keresztényüldöző 34 éves korában egy hirtelen változáson ment keresztül. Ő lett az új hit legszenvedélyesebb támogatója, és ezzel lehetővé tette egy kis zsidó szekta számára, hogy a következő 2000 évben a nyugati világ domináns vallásává váljon.

Hogyan járhattak sikerrel Pál erőfeszítései? Felismerte, hogy a kereszténység akkor terjedhet a judaizmuson túl, ha a kereszténnyé válás nagy akadályait megszüntetik. A körülmetélést és a szigorú étkezési előírásokat enyhíteni kell. Ezt az üzenetet elvitte Jeruzsálembe Jézus eredeti tanítványaihoz, és megbízást kapott arra, hogy folytassa a térítést anélkül, hogy megkövetelné a körülmetélést.

De Pál megértette, hogy mindez még nem elég: a tanítást terjeszteni kell. Jól ismerte az első századi civilizált világot Rómától Jeruzsálemig behálózó emberi kapcsolatrendszer-hálózatot, és nekilátott, hogy ahány embert csak képes, elérjen, és az új hitre térítsen. Közel 10  000 mérföldet járt be életének következő tizenkét évében. Azonban nem véletlenszerűen bolyongott; felvette a kapcsolatot a kor legnagyobb közösségeivel, azokkal a népekkel és településekkel, ahol az új vallás a leghatékonyabban képes volt csírázni és terjedni. Ő volt a kereszténységnek az első és kiemelkedően legjobb „eladója”, aki a hit téziseit és az ismeretségi hálózatokat egyaránt hatékonyan használta. Neki, vagy Jézusnak, vagy talán a tanításnak köszönhető a kereszténység sikere? Megtörténhet-e ez ismét?

2.

Pál és MafiaBoy között óriási a különbség: MafiaBoy tettei a rombolásra irányultak. Pál, kezdeti szándékai ellenére, a korai keresztény közösségek között hídépítő szerepet játszott. Kettőjükben azonban van valami közös: mindketten a hálózat mesterei voltak. Bár egyikük sem gondolt erre ebben a megközelítésben, de sikerük kulcsa annak az összetett hálózatnak a létezése volt, amely tetteikhez hatékony közeget biztosított. MafiaBoy a számítógépek hálózatát használta. A harmadik évezred elején az internet a leggyorsabb és leghatékonyabb eszköz a legtöbb ember elérésére. Pál az első századbeli szociális és vallási kapcsolatok mestere, az egyetlen hálózaté, amely a modern kor kezdetén hordozhatta és terjeszthette a hitet. Egyikük sem fogta fel teljesen azokat az erőket, amelyek tetteiket segítették. Közel 2000 évvel Pál után most kezdjük megérteni, miben rejlett Pál és MafiaBoy sikere. Tudjuk, hogy a válasz egyaránt múlik azoknak a hálózatoknak a topológiáján és szerkezetén, amelyeket felhasználtak, valamint az ő navigálási képességeiken.

Pál és MafiaBoy azért érték el céljukat, mert mindannyian össze vagyunk kapcsolva. Biológiai létezésünk, társadalmi viszonyaink, a gazdaság és a vallási hagyományok az egymáshoz kapcsoltság lenyűgöző történetét alkotják. Ahogy a nagy argentin író, Jorge Luis Borges mondja, „minden kapcsolódik mindenhez”.

3.

„Ott sárkányok lakoznak!” – így jelölték az ősi térképkészítők a rémítő ismeretlen területeket. Ahogy a kalandvágyó felfedezők a föld összes helyére eljutottak, ezek a szörnyjelű foltok fokozatosan eltűntek. Viszont a szellemi térképünkön még mindig sok a sárkánnyal fertőzött terület azzal kapcsolatban, hogy hogyan illeszkednek egymáshoz a világ különböző részei, az egy sejtbe zárt mikroszkopikus univerzumtól az internet határtalan világáig. Jó hír, hogy az utóbbi időben a kutatók megtanulták feltérképezni a kapcsolódásokat. Térképeik új fényben mutatják be hálóhoz hasonló világunkat, és olyan meglepetéseket és kihívásokat találtak, amelyekre néhány évvel ezelőtt még gondolni sem lehetett. Az internet részletes térképei megmutatták, hogy a hackerek milyen kárt tehetnek benne. A Silicon Valleyben működő vállalatok tulajdonosok és szakmák szerinti kapcsolatainak térképén végigkövethető a hatalom és pénz útja. Az egyes életközösségeken belül a fajok közötti kölcsönhatást bemutató térképek segítségével rádöbbenhetünk az emberiség környezetromboló hatására. Egy sejten belül az együttműködő gének térképei bepillantást engednek abba, hogyan működik a rák. De a valódi meglepetés akkor ér bennünket, ha ezeket a térképeket egymás mellé helyezzük. Hasonlóan ahhoz, ahogy a különböző emberek csontváza majdnem megkülönböztethetetlen, rájöttünk, hogy ezek a különböző térképek egy közös tervrajzot követnek. Friss és lélegzetelállító felfedezések sorozata arra a felismerésre kényszerít bennünket, hogy minden minket körülvevő összetett hálózat szerkezetét és fejlődését meglepően egyszerű és messzire mutató természeti törvények irányítják.

4.

Láttak már olyan gyereket, aki darabokra szedi kedvenc játékát? Látták aztán a kicsit sírni, miután felismerte, hogy nem képes a darabokat újra összerakni? Íme egy titok, amiből soha nem lesz címlapsztori: szétszedtük az univerzumot, és fogalmunk sincs róla, hogyan rakjuk össze. Miután az előző évszázadban dollárbilliókat költöttünk a kutatásban a természet szétszedésére, csak most ismerjük be, hogy fogalmunk sincs arról, hogyan tovább – kivéve, hogy még apróbb darabokra szedjük.

Sok XX. századi tudományos kutatás hajtóereje volt az egyszerűsítés. A természet megértéséhez először az összetevőit kell megfejtenünk. A feltételezés az, hogy ha egyszer megértjük a részeket, akkor könnyű lesz az egészet felfognunk. Oszd meg és uralkodj; az ördög a részletekben van. Ezért évtizedeken keresztül arra kényszerültünk, hogy a világot alkotóelemein keresztül lássuk. Arra tanítottak bennünket, hogy az atomok és a kölcsönhatások tanulmányozása segítségével értsük meg az univerzumot, az életet pedig a molekulákon keresztül; és arra, hogy az összetett emberi viselkedést egy-egy gén irányítja, a különböző vallások és az aktuális őrületek eredetének a prófétákat lássuk.

Közel vagyunk ahhoz, hogy majdnem mindent tudjunk, amit a részekről tudni lehet. A természet egészének megértésétől azonban ugyanolyan messze vagyunk, mint bármikor korábban. Az újra összerakás tényleg sokkal nehezebb, mint azt a tudósok gondolták. Az ok egyszerű. Az egyszerűsítést erőltetve beleütközünk a komplexitás kemény falába. Megtanultuk, hogy a természet nem egy jól megtervezett összerakós játék, amely csak egyféleképpen rakható össze. A komplex rendszerekben a részek olyan sokféleképp illeszthetők össze, hogy az összes lehetőséget csak évmilliárdok alatt próbálhatnánk végig. A természet évmilliók óta mégis méltón és pontosan illeszti össze a darabokat. Mindezt pedig úgy teszi, hogy kihasználja az önszerveződés mindent irányító törvényeit, amelyek eredete még mindig rejtély számunkra.

Manapság egyre inkább felismerjük, hogy semmi nem történik elszigetelten. A legtöbb esemény és jelenség része egy komplex, univerzális kirakós játéknak, amelynek sok-sok darabja egymással kapcsolatban és kölcsönhatásban áll, egymást befolyásolja. Elkezdtük belátni, hogy egy kis világban élünk, amelyben minden minden mással össze van kapcsolva. Egy most születő forradalomnak vagyunk a tanúi, melynek során a különböző tudományágak tudósai felfedezik, hogy a komplexitásnak szigorú szerkezete van.3

Elkezdtük megérteni a hálózatok fontosságát.

Az életünket meghatározó internet miatt a hálózat szó napjainkban már úton-útfélen feltűnik, szerepel vállatok és népszerű folyóiratok nevében. Szeptember 11-én tanúi voltunk a terrorista hálózatok halálos erejének, és ezt követően hozzá kellett szoknunk a szó egy újabb jelentéséhez. Kevés ember ismeri fel azonban, hogy a gyorsan fejlődő hálózatok tudománya olyan jelenségeket tár fel, amelyek sokkal inkább izgalmasak és újszerűek, mint amit a hálózat szó köznapi használata valaha jelentett. Ezeknek a felfedezéseknek egy része még mindig olyan új, hogy sok kulcsfontosságú eredmény a tudományos közösségben még csupán publikálatlan kéziratként terjed. A körülöttünk lévő, szorosan összefüggő világ egy új arcát mutatják meg, és jelzik, hogy a hálózatok sokkal inkább meghatározóak lesznek az új században, mint amennyire az emberek többsége ma erre felkészült. Ezek a kéziratok vetik fel azokat az alapvető kérdéseket, amelyek a következő korszakban a világról alkotott nézeteinket alakítják.

Ennek a könyvnek célja csupán az, hogy az olvasót rávegye a hálózatokban való gondolkodásra. Arról szól, hogy hogyan keletkeznek a hálózatok, hogyan néznek ki, és hogyan fejlődnek. Bemutatja a természetet, a társadalmat és az üzleti életet a hálózatok szemszögéből, és új keretet ad számos kérdés megértéséhez a webes demokráciától az internet sebezhetőségéig és a halálos vírusok terjedéséig.

A hálózatok mindenütt jelen vannak. Csak a szemünket kell nyitva tartanunk, hogy észrevegyük őket. Ahogy az olvasó a könyvben egyik láncszemről másik láncszemre halad előre, megtanulja a társadalmat komplex ismeretségi hálózatként szemlélni, és megismeri a kicsiny méretét annak a nagyszerű világnak, amelyben élünk. Az olvasó meg fogja érteni, hogy hogyan és miért járt sikerrel Pál, és hogy a nyilvánvaló különbségek ellenére mennyire hasonló volt az akkori társadalmi környezet a maihoz. Megismerkedhet azokkal a kihívásokkal, amelyekkel az orvosok szembesülnek, amikor egyetlen molekulára vagy génre összpontosítva megkísérelnek egy betegséget meggyógyítani, és figyelmen kívül hagyják az élő anyag összetettségét és szoros összefüggőségét. Emlékeztetjük majd az olvasót arra, hogy MafiaBoy nem az egyetlen, aki a hálózatokat támadja. Elkezdi értékelni, hogy az internet – melynek létrejöttét gyakran teljesen az embernek tulajdonítják – hasonlóvá vált az élő szervezetekhez vagy az élő rendszerekhez. Mindez meggyőzően mutatja az összes hálózatot szabályozó alaptörvények erejét. Az olvasó megértheti, hogy a terrorizmus felbukkanását szintén a hálózatok kialakulásának törvényei irányítják, és azt is, hogyan használják ki ezek a gyilkos hálózatok a természetes hálózatok alapvető robusztusságát. Rácsodálkozhat olyan látszólag különböző rendszerek közötti meglepő hasonlóságokra, mint a gazdaság, a sejt, az internet, és felhasználhatja az egyiket a másik megértéséhez. Ez egy sok meglepetést okozó utazás lesz, amely remélem, rábírja az olvasót arra, hogy eldobja az egyszerűsítés szemellenzőjét, és láncszemről láncszemre haladva megismerje a következő tudományos forradalmat: a hálózatok új tudományát.

A MÁSODIK LÁNCSZEM
A véletlenszerű világegyetem

1783. szeptember 18-án Szentpéterváron Leonhard Eulernek4 a nap ugyanúgy indult, mint máskor. Matematikaórát tartott egyik unokájának, majd elkezdett a léghajók repülésével kapcsolatban egy számolást. Éppen három hónappal korábban, Lyontól délre a Montgolfier testvérek egy hatalmas léghajót bocsátottak fel, amely 6500 láb magasságig emelkedett fel és körülbelül egy mérfölddel arrébb biztonságosan földet ért. Euler a léghajó mozgásának mechanikáján dolgozott, amikor a Montgolfier testvérek XVI. Lajos előtt Párizsban egy birkát készültek felvinni a levegőbe. A repülés még aznap, szeptember 19-én lezajlott. Euler azonban soha nem hallott róla. Ebéd után asszisztensével az akkoriban felfedezett Uránusz bolygó pályájának kiszámításán dolgozott A bolygó különös pályáját leíró, általa bevezetett egyenletek évtizedek múlva majd a Plútó bolygó felfedezéséhez vezetnek. Euler nem lehetett tanúja ennek a felfedezésnek sem. Délután öt óra tájban agyvérzést kapott, és azt suttogta: „meghalok”, mielőtt elveszítette eszméletét. Azon az estén meghalt, bevégezve minden idők legtermékenyebb matematikai karrierjét.

Euler svájci születésű matematikusként életét Berlinben és Szentpéterváron töltötte, és különösen nagy hatást gyakorolt a matematika minden területére, a fizikára és a mérnöki tudományokra. Nemcsak felfedezéseinek fontossága volt páratlan, hanem puszta mennyiségük is lenyűgöző. Az Opera Omnia, Euler még nem teljes összegyűjtött munkáinak jegyzete jelenleg több mint hetvenhárom kötetből áll, amelyek mindegyike hatszáz oldalas. Euler életének utolsó tizenhét éve, amely 1766-os szentpétervári visszatérésétől5 hetvenhat éves korában bekövetkezett haláláig tartott, eléggé viharos volt. A sok személyes tragédia ellenére műveinek közel felét mégis ezekben az években írta. Ezek közé tartozik a Hold mozgását leíró, 775 oldalas értekezés, egy nagy hatású algebrakönyv, valamint az integrálszámítás háromkötetes kifejtése, amelyet úgy fejezett be, hogy közben átlagban heti egy matematikai cikket jelentetett meg a szentpétervári akadémia lapjában. A meglepő ebben az, hogy ez idő alatt alig olvasott vagy írt le egyetlen sort. 1766-os szentpétervári visszatérése után hamarosan részlegesen elveszítette látását, és egy 1771-ben végzett sikertelen hályogműtét következtében teljesen vak maradt. A tételek oldalainak ezreit mind fejből diktálta.6

Három évtizeddel korábban, még jó látással, Euler írt egy rövid cikket egy szórakoztató problémáról, amely a szentpétervári otthonától nem messze található Königsbergből származik. Königsberg a tizennyolcadik század elején Kelet-Poroszország egy virágzó városa volt, és nem sejtette még azt a szomorú és háború tépázta sorsot, amely a második világháború egyik legádázabb csatájának színhelyeként rá várt. A korabeli rézkarcok egy a Pregel partjain elterülő, gyorsan fejlődő várost ábrázolnak, amelyben serény hajók flottája és a velük folytatott kereskedés kényelmes életet biztosított a helyi kereskedőknek és családjaiknak. Az egészséges gazdaság lehetővé tette a város elöljárói számára, hogy nem kevesebb, mint hét hidat építsenek a folyón keresztül. Ezek közül a legtöbb a város egyes részeit az elegáns Kneiphof-szigettel kötötte össze, amely a Pregel két ága közé ékelődött. Két másik híd a folyó két ágát keresztezte (2.1 ábra). A békében és jólétben élő boldog königsbergiek fejtörőkkel szórakoztak. Az egyik például ez volt: „Átsétálhatunk-e a hét hídon úgy, hogy közben egyiken se menjünk át kétszer?” Senki nem tudott ilyen útvonalat találni, mígnem 1875-ben építettek egy új hidat.

1736-ban, majdnem százötven évvel az új híd megnyitása előtt Euler egy egzakt matematikai bizonyítást adott arra, hogy az akkor meglévő hét hídon át ilyen útvonal nem létezik. Azontúl, hogy megoldotta a königsbergi problémát, rövid cikkében tudtán kívül is útjára indította a matematika egy csodálatosan gazdag ágát, a gráfelméletet.

Ma a hálózatokról gondolkodásunk alapja a gráfelmélet. Az Eulert követő évszázadok alatt a gráfelmélet fejlődéséhez a legnagyobb matematikusok járultak hozzá, és a terület éretté vált. Mielőtt a hálózatok ajtajának világát kitárnánk, pillantsunk bele röviden abba a gondolatmenetbe, amely Eulert az első gráfok bevezetésére indította.

2.1 ábra A königsbergi hidak. Königsberg elrendezése 1875 előtt a Kneiphof-szigettel (A) és a Pregel folyó két ága közötti D földterülettel. A königsbergi probléma megoldása azt jelentette, hogy a város körül olyan útvonalat találjunk, ami egy személytől minden egyes hídon csak egyszeri átkelést igényelne. 1736-ban Leonhard Euler létrehozta a gráfelméletet azáltal, hogy a négy földterület mindegyikét pontokkal (A-tól D-ig) és minden egyes hidat pedig egy éllel (a-tól g-ig) helyettesített, amellyel egy négy pontból és hét élből álló gráfot kapott. Aztán bebizonyította, hogy a königsbergi gráfon nem létezik olyan útvonal, amelyik minden élt csak egyszer metsz.7

1.

Euler bizonyítása egyszerű és elegáns, könnyen megértheti az is, aki matematikailag nem képzett. Viszont mégsem a bizonyítás vonult be a történelembe, hanem inkább a probléma megoldásához felhasznált közbenső lépés. Euler nagyszerű meglátása abban rejlett, hogy a königsbergi hidakat gráfoknak tekintette: olyan pontoknak, amelyet élek kapcsolnak össze. Ehhez a folyó által egymástól elválasztott négy földterületnek megfeleltetett négy pontot, és ezeket A, B, C és D betűkkel jelölte. Aztán a hidakat éleknek nevezte el, és vonalakkal kötötte össze azokat a földdarabokat, amelyek között híd volt. Így egy gráfot kapott, amelynek pontjai a földdarabok voltak és élei a hídak.

Euler bizonyítása arról, hogy Königsbergben nincsen mind a hét hídon csak egyszer áthaladó útvonal, egy egyszerű megfigyelésen alapult. Minden páratlan számú éllel rendelkező pont vagy kezdő- vagy végpontja kell legyen az útvonalnak. Minden hídon áthalad egy folytonos útvonal, amelyiknek csak egy kezdő- és egy végpontja lehet. Ezért ilyen útvonal nem létezhet olyan gráfon, amelynek több mint két páratlan számú éllel rendelkező pontja van. Mivel a königsbergi gráfnak négy ilyen pontja volt, ezért nem is találhatott volna senki a feltételeknek megfelelő útvonalat.

Számunkra Euler bizonyításának legfontosabb oldala az, hogy az útvonal létezése nem a mi leleményességünkön múlik. Ez a gráf egy belső tulajdonsága. A königsbergi hídak korabeli elhelyezése esetén, függetlenül attól, hogy milyen leleményesek vagyunk, a kívánt útvonalat nem találhatjuk meg. A königsbergiek végül egyetértettek Eulerrel, feladták a reménytelen keresést, és 1875-ben a B és C terület között új hidat építettek, és ezzel megnövelték e két pont éleinek számát. Most már csak két pont (A és D) maradt páratlan számú éllel, és egyszerű volt a kívánt útvonalat megtalálni. Lehet, hogy ennek az útvonalnak a létrehozása volt a híd felépítésének rejtett indítéka?

Visszapillantva azt mondhatjuk, Euler nem szándékos üzenete nagyon egyszerű. A gráfok és hálózatok tulajdonságai a felépítésükben rejlenek, és ez segít vagy hátráltat minket abban, hogy az adott hálózat segítségével valamit végrehajtsunk. Több mint két évszázadon keresztül a königsbergi gráf szerkezete nem engedte, hogy a polgárok kávéházi feladványukat megoldják. De ha egy él hozzáadásával megváltoztatjuk a gráf felépítését, ez a korlátozás hirtelen megszűnik.

Euler eredménye sokféleképpen szimbolizálja e könyv üzenetét. A minket körülvevő összetett világ megértésének kulcsa a gráfok vagy hálózatok felépítése és szerkezete. A csak kevés pontra vagy élre ható, a topológiában végrehajtott kis változások rejtett ajtókat tárhatnak ki, és ezek nyomán új lehetőségek keletkezhetnek.8

A gráfelmélet Euler után olyan matematikai óriások hozzájárulásával lendült fel, mint Cauchy, Hamilton, Cayley, Kirchhoff és Pólya.9 Ők fedeztek fel majdnem mindent, ami napjainkban az olyan nagy, rendezett gráfokkal kapcsolatban ismert, mint amilyen az atomokból kialakuló kristályrács vagy a méhkaptárakban a méhek által készített hatszögletű rács. A huszadik század közepéig a gráfelmélet célja egyszerű volt: a különböző gráfok tulajdonságait kívánta feltárni és katalogizálni. A híres problémák közé tartozott, hogy megtaláljuk a menekülési útvonalat egy útvesztőből vagy labirintusból; ezt először 1873-ban oldották meg. Ilyen volt a sakktáblán annak a lépéssorozatnak a megtalálása, amivel a ló minden mezőt egyszer érint, és visszatér kiindulópontjába. Volt néhány nehéz probléma is, amely évszázadokon keresztül megoldatlan maradt.10

Kétszáz évnek kellett eltelnie Euler gondolatébresztő munkája után, mielőtt a matematikusok áttértek a különféle gráfok tulajdonságainak tanulmányozásáról arra a lényeges kérdésre, hogy hogyan jönnek létre a gráfok, vagy általánosabban: a hálózatok. Valóban, hogyan alakul ki egy valódi hálózat? Milyen törvények irányítják megjelenésüket és szerkezetüket? Ezek a kérdések és az első válaszok 1950-ig várattak magukra, amikor két magyar matematikus forradalmasította a gráfelméletet.

2.

Az 1920-as évek végének Budapestjén egy furcsa mozgású, tizenhét éves ifjú vágtázott az utcákon, és megállt egy elegáns cipőbolt előtt, ahol mérték után készített cipőket árultak. Furcsa formájú lábával, amelyre normális cipő soha nem illett volna, valóban jó hasznát vette volna egy cipésznek. Látogatásának oka azonban nem egy új cipő volt. A bolt ajtaján bekopogtatott, majd belépett, és nem törődve az eladónővel a pultnál, odament a bolt hátsó részében lévő tizennégy éves fiúhoz. Ez a viselkedés éppolyan furcsának tűnt, mint az ma tűnne bármelyikünknek.

„Mondj egy négyjegyű számot!” – mondta.

„2532” – jött a tágra nyitott szemű fiú válasza, ahogy rámeredt a furcsa alakra. Az idősebb fiú azonban nem hagyta őt túl sokáig bámulni.

„A négyzete 6 441 024” – folytatta. „Elnézést, öregszem, és nem tudom megmondani a köbét. Hány bizonyítását ismered a Pitagorasz-tételnek?”

„Egyet” – válaszolta a fiatalabb.

„Én harminchetet tudok” – folytatta a másik anélkül, hogy levegőt vett volna. „Tudtad, hogy egy egyenes pontjainak halmaza nem megszámlálható?” Miután az éles eszű fiú megmutatta Cantor bizonyítását, és befejezte a cipőboltban a dolgát, így szólt: „Sietek”, és így is tett, sarkon fordult és kivágtatott a boltból.

Erdős Pál továbbvágtázott, és a huszadik század legfontosabb zsenije és leghíresebb különce lett.11 1996-ban bekövetkezett haláláig 1500-nál is több matematikai cikket írt. Ez az Euler óta páratlan életmű tartalmazott egy másik magyar matematikussal, Rényi Alfréddal közösen írt nyolc cikket. Ez a nyolc cikk a történelem folyamán először tette fel a legalapvetőbb kérdést gazdagon összekötött világunkról: milyen módon jönnek létre a hálózatok? Megoldásuk lefektette a véletlen hálózatok elméletének alapjait. Ez az elegáns elmélet olyan mélyen meghatározta gondolkodásunkat a hálózatokról, hogy még ma is nehezen tudunk tőle elszakadni.

Végjegyzetek

AZ ELSŐ LÁNCSZEM: BEVEZETÉS

1 MafiaBoy történetét széles körben tárgyalta a sajtó. A linkgyűjteményért lásd http://www.mafiaboy.com/. Az „Igen, hallottalak téged!” mondat C. Taylor „Behind the Hack Attack című cikkéből származik (Time Magazine, 2000. február 21.).

2 Szent Pál életét és szerepét a kereszténység elterjesztésében számtalan könyvben és monográfiában állították fókuszpontba. Lásd például C. J. Den Heyer Paul: A Man of Two Worlds (Harrisburg, Pennsylvania, Trinity Press International, 1998) és Robert Jewlett: A Chronology of Paul’s Life (Philadelphia, Fortress Press, 1979).

3 A komplexitás vizsgálata manapság egyre elterjedtebb, és ennek célja az, hogy megértsük, hogyan viselkednek a különböző összetevők millióiból álló rendszerek, és az önszerveződés törvényeit kihasználva hogyan jön létre a káoszból és véletlenszerűségből a rend. A tudományterület művelői a matematikától és a fizikától az ökológiáig és az üzleti tudományokig sok helyütt megtalálhatóak. A témáról született népszerű könyveket és ismertetőket lásd például Murray Gell-Mann: The Quark and the Jaguar: Adventures in the Simple and the Complex (New York, W. H. Freeman, 1995); Hidden Order: How Adaptation Builds Complexity (Cambridge, Mass.: Perseus, 1996); Ricard V. Solé and Brian Goodwin’s: Signs of Life: How Complexity Pervades Biology (New York: Basic Books, 2001); Yaneer Bar-Yam: Dynamics of Complex Systems (Cambridge, Mass.: Perseus, 1997).

A MÁSODIK LÁNCSZEM: A VÉLETLENSZERŰ VILÁGEGYETEM

4 Euler életéről röviden több különböző helyen írnak. Friss beszámolót találunk például Willam Durham életrajzi jegyzeteiben: Euler: The Master of Us All (Washington, D. C., Mathematical Association of America, 1999).

5 Euler szentpétervári élete eléggé viharos volt. Elvesztette feleségét, akivel harminc évig élt együtt, és három évre rá elvette felesége féltestvérét. Tűzben leégett a háza, és összes könyve és jegyzete ott pusztult; menekülését egy svájci honfitársa bátorságának köszönhette, aki besétált a tűzbe és a hátán menekítette ki neves honfitársát.

6 Euler írásának frissessége és világossága figyelemre méltó. Tárgya iránti lelkesedése még az évszázadok távlatából is vibráló. Manapság, amikor egy tudományos írás alig felfogható a nem hozzáértő számára, cikkeinek egyszerűsége irigylésre méltó. Euler közel negyedszázadot töltött Berlinben, ahová Nagy Frigyes porosz király hívta meg. Ez alatt az idő alatt felkérték, hogy adjon természettudományos leckéket a király unokahúgának, Anhalt Dessau hercegnőjének. Erre a felkérésre válaszként írta meg négyszáz oldalas munkáját Letters of Euler on Different Subjects in Natural Philosophy, Addressed to a German Princess címmel, amely a tudomány közel minden területét érinti, tárgyalja a Hold gravitációjától a szellemek természetéig terjedő kérdéseket. A Letters to a German Princess hamarosan nemzetközi sikert aratott, s a legjobb példa az olyan népszerűsítő tudományos írásra, amelyet egy területének élvonalában dolgozó kutató írt. Lásd Leonhard Euler: Letters of Euler on Different Subjects in Natural Philosophy Addressed to a German Princess (New York, Arno Press, 1975).

7 Hogy Euler argumentumait az Olvasó részletesebben lássa, tekintse például a D csomópontot, amelyet a három híd, az e, f és g köt össze az őket reprezentáló három élen keresztül a szárazfölddel. Annak a személynek, aki a három hídon csak egyszer akar átmenni, legalább kétszer meg kell látogatnia a D pontot. Például érkezhetne az f hídon keresztül, távozhatna az e-n át, és aztán ismét jönne a g hídon keresztül. A probléma az, hogy nem tud ismét eltávozni, mivel valamennyi hídon átment már egyszer. Így D vagy az utazás kezdőpontja, vagy végpontja. De ez nem csak a D pontra jellemző: könnyen ellenőrizhető, hogy az összes páratlan számú éllel rendelkező pont rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Az a személy, aki az összes pontot végig akarja látogatni, rajtuk kell kezdenie vagy befejeznie az útját. Az A, B, C és D pontok mindegyikének három éle van. Ez azt jelenti, hogy az A, B, C és D egyidejűleg kezdő- és végpontja az utazásnak.

8 Euler összegyűjtött munkái Opera Omnia (Basel, Birkhäuser Verlag AG, 1913) címmel jelentek meg. Bár publikálásuk 1911-ben kezdődött, és több mint hat tucat kötet jelent már meg, a kiadás még nem teljes.

9 A gráfelmélet korai időszakának jó összegzése történelmi háttérrel és a terület legfontosabb cikkeinek angol nyelvű fordításával megtalálható Norman L. Biggs, E. Keith Lloyd és Robin J. Wilson: Graph Theory: 1736–1936 (Oxford, Clanderon Press, 1976). A könyv tartalmazza Euler königsbergi hidakról írt eredeti cikkét.

10A négyszín-probléma felvetése például 1852-re nyúlik vissza, és 1976-ig hiányzott a bizonyítása. A probléma nagyon egyszerű: bizonyítsuk be, hogy egy tetszőleges térkép kiszínezhető négy színnel úgy, hogy ne legyen két azonos színű, egymással határos ország. Bárki, aki megpróbált már egy térképet kiszínezni, könnyen meggyőzhető arról, hogy négy szín elegendő. Mégis a bizonyítás több mint egy évszázadig váratott magára, és ez lett az első nagy tétel, amelyet számítógép segítségével sikerült bebizonyítani.

11Erdős élete sok népszerű beszámolót inspirált. A bevezető történet Vázsonyi András beszámolóján alapszik; ő volt a cipőbolti tizennégy éves fiú, aki később a második legfiatalabb matematikusként szerzett Magyarországon abban az időben (Erdős után) PhD fokozatot, és Erdős életre szóló barátja lett. Lásd Fan Clung és Ron Graham: Erdős on Graphs: His Legacy and Unsolved Problems (Wellesley, Mass., A. K. Peters, 1998). Népszerű Erdős-életrajzokért lásd Paul Hoffman: The Man Who Loved Only Numbers (New York, Hyperion, 1998) és Bruce Schechter: My Brain Is Open (New York, Touchstone, 1998). Lásd még András Hajnal és Vera T. Sós: „Paul Erdős Is Seventy”, Journal of Graph Theory 7 (1983): 391–393.

Köszönetnyilvánítás

Lehetetlen elég alaposan megköszönni mindazoknak a kutatóknak a segítségét, akiknek kutatásai inspiráltak. Néhányukat megemlítettem könyvemben, mások a jegyzetekben jelennek meg. A túlnyomó többség mégsem került be a könyvbe, de nem kevésbé fontosak. Sok tekintetben munkájuk e könyv alapját képezi.

E könyv megírásakor nem csak kiadott munkákra hagyatkoztam. Sok mindent hasznomra fordítottam az évek során a hálózatok ügyében hozzám forduló tanítványok és kollégák kérdéseiből és ötleteiből is. Ezek a beszélgetések és e-mailek döntő szerepet játszottak a könyv tartalmának kialakításában azáltal, hogy felnyitották a szemem a hálózatokban való gondolkodásra több különböző területen. Ez a könyv nem jöhetett volna létre valóban rendkívüli, volt és mostani tanítványaim, Albert Réka, Ginestra Bianconi, Dezső Zoltán, Farkas Illés, Ravasz Erzsébet, Soon-Hyong Yook segítsége nélkül, akik a hálózatok kutatása mellett döntöttek. Hawoong Jeong kutatócsoportomban dolgozott fiatal posztdoktori kutatóként. Az ő kivételes szakértelme és állhatatossága utazásunkat az igazi hálózatok világa felé nem csupán megvalósíthatóvá tette, de vidámmá is. Szintén adósa vagyok számos együttműködő kutatónak, beleértve Eric Berlowt, Jay Brockmant, Derényi Imrét, Jennifer Dunne-t, Vincent Free-t, Byungnam Kahngot, Kertész Jánost, Neo Martinezt, Néda Zoltánt, Oltvai Zoltánt, Peter Schiffert, Schubert Andrást, Tombor Bálintot, Yuhai Tut, Vicsek Tamást és Rich Williamst, akik rengeteg ötletet és segítséget ajánlottak fel az utóbbi pár évben.

Sokan láttak el olyan információval, ami a könyv anyagának gyűjtésekor döntő jelentőségűnek bizonyult. Még 1999-ben Braun Tibor küldte el az ötlépésnyi távolságról szóló Karinthy-novellát, és Thomas Bess segített megértenem Milgram hat lépésről szóló munkáját. Luis Amaral, Eric Bonabeau, Guido Caldarelli, Christopher R. Edling, Lee Giles, Mark Granovetter, Byungnam Kahng, Jeff Kantor, Judith Kleinfeld, Valdis Krebs, Steve Lawrence, Fredrik Liljeros, Sid Redner, Richard V. Solé és Alessandro Vespignani osztották meg velem kiadatlan kézirataikat, információikat, forrásaikat.

Sokan áldozták rá idejüket, hogy elolvassák és kommentálják a kéziratot, annak különböző szakaszaiban. Oltvai Zoltán valóban hősi munkát vitt véghez, mikor sorról sorra tette meg javaslatait, hogy tökéletesítsük azt. Szintén sokat hasznosítottam Albert Réka, Kevin Barry, Steve Buechler, Reuven Cohen, Forgács Gábor, Gyuris Viktor, Jankó Boldizsár, Hawoong Jeong, Gerald Jones, Jim McAdams, Mark Newman, H. Eugene Stanley, Alessandro Vespignani, Vicsek Tamás, Ed Vielmetti és Eduardo Zambrando megjegyzéseiből és a lényeget megvilágító javaslataiból. Az igazán ösztönző, ebéd melletti beszélgetések a Notre Dame-en Jim McAdams csoportjának – a webcsoportnak – a tagjaival segítettek finomítani azon gondolatok némelyikét, melyek végül bekerültek a könyvbe. A csoport tagja volt Sheri Alpert, Kevin Barry, Patricia Louise Bellia, Kathy Biddick, Jay Brockman, Leo Burke, David S. Hachen, Martin Haenggi, Lionel M. Jensen, Lee Byung Joo, Jeffrey C. Kantor, Barry Patrick Keating, Gregory Madey, Gail Hinchion Mancini, Khalil Matta, Kajal Mukhopadhyay, Daniel Myers, Susan Ohmer és Richard Pierce.

A fizika tanszéken dolgozó kollégáim, akik bátorították azokat a jelentős fordulatokat, melyeken az utóbbi néhány évben munkám átesett, kutatásaimat és a könyv megírását hűségesen támogató légkört teremtettek. Különösen hálás vagyok Bruce Bunker, Margaret Dobrowolska, Jacek Frudyna, Jankó Boldizsár, Gerald Jones és Kathie Newman állandó támogatásáért. Jennifer Maddox igazán professzionális, ugyanakkor vidám hozzáállása minden logisztikai problémával szemben, amit csak ki tudtam találni, mérhetetlen időt spórolt meg nekem, amit mind ebbe a könyvbe fektethettem.

Deborah Justice rengeteg órát töltött a kézirat korai változatainak szerkesztésével, s segített megértenem az angol nyelv és stílus nehézségeit. A könyv sosem készülhetett volna el Lesley Krueger elkötelezett technikai segítsége nélkül, aki a piszkozat könyvvé alakulásának közvetlen szemtanúja volt. Jankó Enikő és Dezső Zoltán szintén sok órát töltött a kézirat számtalan változatának korszerűsítésével, időnként váratlanul be-betoppanva. Valóban hálás vagyok Hawoong Jeongnak, aki időről időre megcsillogtatta varázslatos képességeit és vég nélküli türelmét, melyek segítségével a könyv ábráit véglegesítette.

A Perseus szerkesztősége rendkívül segítőkész és ügyes volt az írói és kiadási folyamat minden fokán. El se tudok képzelni Amanda Cooknál és Joan Benhamnél jobb szerkesztőket, akiknek szerkesztői útmutatása a könyvet sokkal könnyebben olvashatóvá tette. Elizabeth Carduff, Chris Coffin és Marco Pavia kivételes gyorsasággal kalauzolta végig a kéziratot a kiadási folyamat bonyolult útvesztőiben. Nagyon köszönöm Lissa Warrennek, hogy segített abban, hogy a szöveg megjelenjen. Hálás vagyok Katinka Matsonnak és a Brockman, Inc.-nek, amiért összehozott a Perseus Kiadóval.

A Behálózvát nemcsak hogy nem fejeztem volna be, hanem el sem kezdtem volna Janet Kelley kedves lelkesedése nélkül, aki lelket öntött belém, valahányszor fel akartam adni. Nehéz szóban elmondani, hogy az ő segítsége mennyit jelentett számomra.

Ismerd meg szerzőinket és műveiket a
libri-kiado.hu weboldalon,
kövesd az újdonságokat és nézz videókat a
nyugatiter.hu blogunkon,
csatlakozz közösségünkhöz a Facebookon!

Forgalmazza:
eKönyv Magyarország Kft.
ekonyvlogo

Felhasznált betűtípus
Noto Serif – SIL Open Font Licence